該系列為DR_CAN動態系統的建模與分析系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。
1 彈簧阻尼系統的例子
通過對物塊 \(m\) 進行受力分析，並根據牛頓第二定律得到系統的微分方程：
通過定義二階系統的固有頻率\(\omega\) 和阻尼比 \(\zeta\) ，可以將上述微分方程改寫為：
分析這個系統的動態響應實際上就是求解這個微分方程。對於線性齊次微分方程來說，它的解可以由 \(x = e^{\lambda t}\) 這樣的形式來表示，將這個形式代入微分方程中，我們可以得到一個普通的代數方程。
通過將公因式 \(e^{\lambda t}\) 提出來，我們就可以得到一個新的形式。由於 \(e^{\lambda t} \neq 0\) ，等式兩邊可以同除 \(e^{\lambda t}\) 消去它，這樣一來我們就得到了這個線性齊次微分方程的特征方程，而它的解可以通過求根公式得到。
另外的，特征方程的解也就是 \(\lambda\) 的值便是這個系統的極點，通過對微分方程進行拉普拉斯變換同樣可以求得相同的結果：
根據阻尼比 \(\zeta\) 的取值，我們可以分為三種情況：過阻尼、臨界阻尼與欠阻尼。其中欠阻尼情況下引入了一個新的定義——阻尼固有頻率 \(\omega_d = \omega \sqrt{1-\zeta^2}\) ，通過阻尼固有頻率我們可以將 \(x(t)\) 進一步改寫成更直觀的形式——一個不斷衰減的正弦函數：
一般來說我們常分析以上三種 \(\zeta>0\) 的情況，也就是穩定（可以收斂）的情況。另外的，當 \(\zeta\leq0\) 時系統臨界穩定或不穩定，根據 \(\zeta\) 的取值還分為三種情況：
2 在Simulink中進行仿真
通過移項將微分方程表示為 \(\ddot x = \cdot\cdot\cdot\cdot\) 的形式，我們就可以在simulink中表示這個微分方程：
通過改變積分的初始條件以即 \(\omega\) 和 \(\zeta\) 的值，可以得到不同的動態響應，通過scope可以直觀了解到 \(\zeta\) 的值對系統動態響應的影響。