該系列為DR_CAN動態系統的建模與分析系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
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1 頻率響應
回顧一下頻率響應的結論，即振幅響應的值為 \(G(j\omega)\) 的幅值，幅角響應的值為 \(G(j\omega)\) 的幅角：
2 二階系統
回顧二階系統基本形式，我們有以下內容，其中 \(u(t) = \frac{F}{\omega^2}\) 旨在單位化，都是以前的內容這里不再贅述：
3 計算二階系統頻率響應
代入 \(j\omega\) 求其頻率響應：
3.1 振幅響應
求其模長，值得注意的是，前面為了簡化計算我們令 \(\Omega = \frac{\omega}{\omega_{n}}\)：
通過化簡后的表達式進行分析，先分析三種特殊情況，我們發現有一下規律：
進一步分析，我們發現當 \(\omega=\omega_n\) 時的幅值相應是阻尼比的反比例函數，當阻尼比小於0.5時這個值將會比1大，這代表着函數可能存在一個極大值點。我們通過對 \(|G(j\omega)|\) 分母求導來求這個極值點：
我們發現，當系統阻尼比 \(\zeta<\sqrt{0.5}\) 時，系統存在一個極大值點 \(\Omega = \sqrt{1-2\zeta^2}\) 。我們定義這個極大值點對應的頻率 \(\omega = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\) 為系統的共振頻率。
進一步地，我們將 \(\omega = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\) 代回 \(|G(j\omega)|\) 可以得到振幅響應的極大值：
通過這個式子我們發現，當系統阻尼比較小的時候，如果系統輸入頻率在其固有頻率或共振頻率（\(\zeta=0\) 時 \(\omega = \omega_n\)）附近時，振幅響應非常劇烈，甚至趨於無窮。這是因為外力將系統本身的震動潛能激勵起來了，不同的系統的共振頻率會有所不同，他們的共振效果也會有所不同。