該系列為DR_CAN動態系統的建模與分析系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。
1 LTI系統對信號的作用
信號經過線性時不變系統后其頻率不會發生改變。其幅值與相位的改變分別稱為振幅響應（Magnitude Response）和幅角響應（Phase Response）
2 頻率響應推導過程
一個正弦波的基本形式如下，經過計算合並可以寫成 \(M_i \sin (\omega t + \phi_i)\) 的形式：
對輸入信號 \(u(t)\) 進行拉普拉斯變換可得到 \(U(s)\) ，另外的，系統傳遞函數 \(G(s)\) 也可以對分母進行因式分解寫成以下形式：
通過 \(U(s)\) 與 \(G(s)\) 我們可以計算系統的輸出 \(X(s)\) ,並通過待定系數法拆分成 n+2 項分式。再對其進行合並可以得到這樣一長串的表達式，而這一長串分子等於 \((A\omega + Bs)D(s)\) ：
我們對分式表示形式的 \(X(s)\) 進行拉普拉斯逆變換，可以得到系統輸出的時間響應：
對於穩定系統來說，系統極點的實部均小於零，則有 \(\lim _{t \rightarrow \infty} C_ne^{P_nt} = 0\) ，有這個性質我們可以得到系統輸出的穩態（steady state）表示形式：
頻率響應實際上是一種穩態響應。而現在的問題就變成了求解 \(k_1\) 和 \(k_2\) ，通過上面對 \(X(s)\) 的變形，我們可以構建以下等式並代入特定值求解 \(k_1\) 和 \(k_2\) ：
另外的，\(G(j\omega)\) 與 \(G(-j\omega)\) 為共軛復數，假設 \(G(j\omega)\) 俯角為 \(\phi _G\) ，則 \(G(-j\omega)\) 俯角為 \(-\phi _G\) ，通過用俯角模長形式改寫 \(k_1\) 和 \(k_2\) 中的 \(G(j\omega)\) 與 \(G(-j\omega)\) ，並將其代入系統輸出穩態表達式中，可得：
根據歐拉公式，有：
代入 \(X_{ss}(t)\) 可得：
通過以上計算，我們就得到了關於振幅響應和幅角響應的重要結論：
3 一個積分的例子
積分的拉普拉斯變換為 \(\frac{1}{s}\) ，通過代入 \(j\omega\)，我們可以求出任意頻率下積分的 \(G(j\omega)\) 。根據上面振幅響應和幅角響應的結論，即振幅響應的值為 \(G(j\omega)\) 的幅值，幅角響應的值為 \(G(j\omega)\) 的幅角。
我們便可以根據積分的振幅響應和幅角響應得到這樣的結論：一個信號經過積分以后會滯后 \(\frac{\pi}{2}\) ，而其幅值則會變為原來的 \(\frac{1}{\omega}\) 倍，而 \(\omega\) 為信號的頻率，頻率越高幅值越小，這也印證了積分的低通濾波性質：
