该系列为DR_CAN动态系统的建模与分析系列视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。
1 LTI系统对信号的作用
信号经过线性时不变系统后其频率不会发生改变。其幅值与相位的改变分别称为振幅响应（Magnitude Response）和幅角响应（Phase Response）
2 频率响应推导过程
一个正弦波的基本形式如下，经过计算合并可以写成 \(M_i \sin (\omega t + \phi_i)\) 的形式：
对输入信号 \(u(t)\) 进行拉普拉斯变换可得到 \(U(s)\) ，另外的，系统传递函数 \(G(s)\) 也可以对分母进行因式分解写成以下形式：
通过 \(U(s)\) 与 \(G(s)\) 我们可以计算系统的输出 \(X(s)\) ,并通过待定系数法拆分成 n+2 项分式。再对其进行合并可以得到这样一长串的表达式，而这一长串分子等于 \((A\omega + Bs)D(s)\) ：
我们对分式表示形式的 \(X(s)\) 进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统输出的时间响应：
对于稳定系统来说，系统极点的实部均小于零，则有 \(\lim _{t \rightarrow \infty} C_ne^{P_nt} = 0\) ，有这个性质我们可以得到系统输出的稳态（steady state）表示形式：
频率响应实际上是一种稳态响应。而现在的问题就变成了求解 \(k_1\) 和 \(k_2\) ，通过上面对 \(X(s)\) 的变形，我们可以构建以下等式并代入特定值求解 \(k_1\) 和 \(k_2\) ：
另外的，\(G(j\omega)\) 与 \(G(-j\omega)\) 为共轭复数，假设 \(G(j\omega)\) 俯角为 \(\phi _G\) ，则 \(G(-j\omega)\) 俯角为 \(-\phi _G\) ，通过用俯角模长形式改写 \(k_1\) 和 \(k_2\) 中的 \(G(j\omega)\) 与 \(G(-j\omega)\) ，并将其代入系统输出稳态表达式中，可得：
根据欧拉公式，有：
代入 \(X_{ss}(t)\) 可得：
通过以上计算，我们就得到了关于振幅响应和幅角响应的重要结论：
3 一个积分的例子
积分的拉普拉斯变换为 \(\frac{1}{s}\) ，通过代入 \(j\omega\)，我们可以求出任意频率下积分的 \(G(j\omega)\) 。根据上面振幅响应和幅角响应的结论，即振幅响应的值为 \(G(j\omega)\) 的幅值，幅角响应的值为 \(G(j\omega)\) 的幅角。
我们便可以根据积分的振幅响应和幅角响应得到这样的结论：一个信号经过积分以后会滞后 \(\frac{\pi}{2}\) ，而其幅值则会变为原来的 \(\frac{1}{\omega}\) 倍，而 \(\omega\) 为信号的频率，频率越高幅值越小，这也印证了积分的低通滤波性质：
