該系列為DR_CAN動態系統的建模與分析系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。
1 從彈簧阻尼系統開始
回顧彈簧阻尼系統，我們有以下內容，其中 \(u(t) = \frac{F}{\omega^2}\) 旨在單位化：
通過對微分方程進行拉普拉斯變換可得：
2 單位階躍響應
與分析一階系統的單位階躍響應類似，我們先通過對單位階躍函數進行拉普拉斯變換，然后求出系統輸出 \(X(s)\) ，最后通過拉普拉斯逆變換得到 \(x(t)\) ：
在進行拉普拉斯逆變換之前，我們需要先求出極點，這里我們先分析最復雜的情況——欠阻尼：
通過待定系數法，我們可以將系統輸出 \(X(s)\) 分解為多個分式的和：
得到A B C的值后代入原式得：
對其進行拉普拉斯逆變換，並令阻尼固有頻率 \(\omega_d = \omega \sqrt{1-\zeta^2}\) ，化簡可得：
經過上述復雜的計算我們得到了 \(x(t)\) 化簡以后的結果，注意算式中是 \(\omega_dt\) ：
另外的，當 \(\zeta\) 等於0、1或大於1時，有：
可以看到，二階系統的階躍響應，與對初始條件的響應類似，均根據 \(\zeta\) 的不同取值有不同的情況，只是收斂結果一個是1一個是0。
3 在Simulink中進行仿真
與分析二階系統對初始條件的動態響應類似，我們也可以通過在Simulink中搭建微分方程來對系統進行仿真：
通過設置不同的 \(\zeta\) 我們可以得到多條階躍響應的曲線：
