[Fundamental of Power Electronics]-PART II-8. 變換器傳遞函數-8.2 變換器傳遞函數分析

8.2 變換器傳遞函數分析

接下來，讓我們推導基本變換器傳遞函數中的極點，零點和漸近線增益的解析表達式。

8.2.1 示例：Buck-boost變換器的傳遞函數

Buck-boost變換器的小信號等效電路模型已經在7.2節中推導完成，其結果這里在圖8.31中重新給出。讓我們來推導並畫出這個電路的控制-輸出以及輸入-輸出的傳遞函數。

這個變換器包含兩個獨立的交流輸入：控制輸入\(\hat{d}(s)\)和直流輸入\(\hat{v}_{g}(s)\)。交流輸出電壓的變化量\(\hat{v}(s)\)可以表示為這兩個輸入產生的量的疊加：

\[\hat{v} (s)=G_{vd}(s) \hat{d}(s)+G_{vg}(s) \hat{v}_{g}(s) \tag{8.126} \]

因此，傳遞函數\(G_{vd}(s)\)和\(G_{vg}(s)\)可以被定義為：

\[G_{vd}(s)=\cfrac{\hat{v}(s)}{\hat{d}(s)}|_{\hat{v}_{g}(s)=0}\ \ and\ \ G_{vg}(s)=\cfrac{\hat{v}(s)}{\hat{v}_{g}(s)}|_{\hat{d}(s)=0} \tag{8.127} \]

Fig. 8.31 Buck–boost converter equivalent circuit derived in Sect. 7.2

為了確定輸入輸出傳遞函數\(G_{vg}(s)\)，如圖8.32a，我們將\(\hat{d}\)相關的源置零。然后我們可以\(v_{g}(s)\)源和電感經過變壓器移動，得到圖8.32b所示的電路。利用分壓公式可以得到傳遞函數\(G_{vg}(s)\)：

\[G_{vg}(s)=\cfrac{\hat{v}(s)}{\hat{v}_{g}(s)}|_{\hat{d}(s)=0}=-\cfrac{D}{D^{'}} \cfrac{(R// \cfrac{1}{sC})}{\cfrac{sL}{D^{'2}}+(R// \cfrac{1}{sC})} \tag{8.128} \]

接下來，我們將並聯結構展開，表示為有理分數：

\[\begin{matrix} G_{vg}(s)=(-\cfrac{D}{D^{'}}) \cfrac{(\cfrac{R}{1+sRC})}{ \cfrac{sL}{D^{'2}}+(1+\cfrac{R}{1+sRC})} \\ =(-\cfrac{D}{D^{'}}) \cfrac{R}{R+\cfrac{sL}{D^{'2}}+\cfrac{s^{2} RLC}{D^{'2}}} \tag{8.129} \end{matrix} \]

Fig. 8.32 Manipulation of buck–boost equivalent circuit to find the line-to-output transfer function
\(G_{vg}(s)\): (a) set \(\hat{d}(s)\) sources to zero; (b) push inductor and \(\hat{v}_{g}(s)\) source through transformers

現在並沒有完成——接下來是將表達式化為標准形式，使得分子多項式和分母多項式中\(s^{0}\)項的系數為1。這可以通過分子和分母同時除以\(R\)來實現：

\[G_{vg}(s)=(-\cfrac{D}{D^{'}}) \cfrac{1}{1+s\cfrac{L}{RD^{'2}}+s^{2}\cfrac{ LC}{D^{'2}}} \tag{8.130} \]

因此，輸入-輸出傳遞函數中包含一個直流增益\(G_{g0}\)和一個二次極點對：

\[G_{vg}(s)=G_{g0}\cfrac{1}{1+\cfrac{s}{Q\omega_{0}}+(\cfrac{s}{\omega_{0}})^2} \tag{8.131} \]

輸入-輸出傳遞函數的系數項解析表達式可以通過將式(8.130)和(8.131)中相同項系數相等而得到。直流增益為：

\[G_{g0}=-\cfrac{D}{D^{'}} \tag{8.132} \]

通過令式(8.130)和(8.131)分母中\(s^{2}\)項的系數相等，可以得到：

\[\cfrac{1}{{\omega_{0}}^{2}}=\cfrac{LC}{D^{'2}} \tag{8.133} \]

因此轉折角頻率為：

\[\omega_{0}=\cfrac{D^{'}}{\sqrt{LC}} \tag{8.134} \]

令式(8.130)和(8.131)分母中\(s\)項系數相等，得到：

\[\cfrac{1}{Q \omega_{0}}=\cfrac{L}{D^{'2}R} \tag{8.135} \]

利用式(8.134)消去\(\omega_{0}\)可以得到：

\[Q=D^{'}R \sqrt{\cfrac{C}{L}} \tag{8.136} \]

式(8.132),(8.134)和(8.136)就是用來分析輸入-輸出傳遞函數的理想結果。這些表達式不僅在求解特征值\(G_{g0},\omega_{0},Q\)等的理論場合有用，其還在為滿足給定特征值來選擇\(R,L,C\)的元件值的設計場合有用。

由於圖8.31中存在三個取決於\(\hat{d}(s)\)的項，因此控制-輸出的傳遞函數推導變得復雜。一個比較好的方法就是像在圖7.36中推導規范電路模型中一樣來變換電路。這里使用另一種方法，疊加原理。第一部，我們將\(\hat{v}_{g}\)源置零。這簡化了\(1:D\)變壓器的輸入端，並且我們得到了圖8.33a所示的電路。接下來，我們將電感和\(\hat{d}\)源經過\(D^{'}:1\)變壓器移動到右側，從而得到了圖8.33b。

Fig. 8.33 Manipulation of buck–boost equivalent circuit to find the control-to-output transfer function \(G{vd}(s)\): (a) set \(\hat{v}_{g}\) source to zero; (b) push inductor and voltage source through transformer

圖8.33b中包含了一個由\(\hat{d}\)控制的受控電壓源和受控電流源。因此，傳遞函數\(G_{vd}(s)\)可以表示為這與兩個源相關項的疊加。當電流源置零時(即：開路)，獲得了圖8.34a所示的電路。那么輸出\(\hat{v}(s)\)可以表示為：

\[\cfrac{\hat{v}(s)}{\hat{d}(s)}=(-\cfrac{V_{g}-V}{D^{'}}) \cfrac{(R// \cfrac{1}{sC})}{\cfrac{sL}{D^{'2}}+(R// \cfrac{1}{sC})} \tag{8.137} \]

當電壓源被置零時(即：短路)，此時電路簡化為圖8.34b。輸出\(\hat{v}(s)\)可以表示為：

\[\cfrac{\hat{v}(s)}{\hat{d}(s)}=I(\cfrac{sL}{D^{'2}}//R//\cfrac{1}{sC}) \tag{8.138} \]

Fig. 8.34 Solution of the model of Fig.8.33b by superposition: (a) current source set to zero; (b) voltage source set to zero

那么傳遞函數\(G_{vd}(s)\)就是(8.137)和(8.138)的和：

\[\begin{matrix} G_{vd}(s)=(-\cfrac{V_{g}-V}{D^{'}}) \cfrac{(R// \cfrac{1}{sC})}{\cfrac{sL}{D^{'2}}+(R// \cfrac{1}{sC})} \\ +I(\cfrac{sL}{D^{'2}}//R//\cfrac{1}{sC}) \end{matrix} \tag{8.139} \]

經過代數變換，可以得到如下的簡化形式：

\[G_{vd}(s)=\cfrac{\hat{v}(s)}{\hat{d}(s)}|_{\hat{v}_{g}(s)=0}=(-\cfrac{V_{g}-V}{D^{'}}) \cfrac{1-s \cfrac{LI}{D^{'}(V_{g}-V)}}{1+s \cfrac{L}{D^{'2}R}+s^{2} \cfrac{LC}{D^{'2}}} \tag{8.140} \]

這個方程具有如下的標准形式：

\[G_{vd}(s)=G_{g0} \cfrac{(1- \cfrac{s}{\omega_{z}})}{(1+ \cfrac{s}{Q \omega_{0}}+(\cfrac{s}{\omega_{0}})^2)} \tag{8.141} \]

式(8.140)和(8.130)具有相同的分母，因此\(G_{vd}(s)\)和\(G_{vg}(s)\)具有如式(8.134)和(8.136)的相同的\(\omega_{0}\)和\(Q\)。其直流增益為：

\[G_{d0}=- \cfrac{V_{g}-V}{D^{'}}=\cfrac{V_{g}}{D^{'2}}=\cfrac{V}{DD^{'}} \tag{8.142} \]

零點的角頻率是通過令式(8.140)和(8.141)分子中的\(s\)的系數相等確定的。我們可以得到：

\[\omega_{z}= \cfrac{D^{'}(V_{g}-V)}{LI}=\cfrac{D^{'2}R}{DL} \ \ (RHP:右半平面) \tag{8.143} \]

這個零點位於右半平面。通過下面兩個直流關系式子使得(8.142)和(8.143)被簡化：

\[\begin{matrix} V=- \cfrac{D}{D^{'}}V_{g} \\ I=- \cfrac{V}{D^{'}R} \tag{8.144} \end{matrix} \]

式(8.134)(8.136)和(8.142)以及(8.143)構成了控制-輸出傳遞函數的分析結果：特征值\(\omega_{0},Q,G_{d0},\omega_{z}\)的解析表達式。這些表達式可以用來選擇元件的值從而獲得給的特征期望值。

確定傳遞函數的特征值的解析表達式后，現在我們可以代入數值並構造bode圖。假設我們得到了如下的值：

\[\begin{aligned} & D=0.6 \\ & R=10 \Omega \\ & V_{g}=30V \\ & L=160 \mu H \\ & C=160 \mu F \end{aligned} \tag{8.145} \]

我們可以根據式(8.132),(8.134),(8.136)和(8.142)以及(8.143)來確定傳遞函數的特征值。結果為：

\[\begin{aligned} & |G_{g0}|=\cfrac{D}{D^{'}}=1.5 \Rightarrow3.5\ dB \\ & |G_{d0}|=\cfrac{|V|}{DD^{'}}=187.5V \Rightarrow 45.5\ dB \\ & f_{0}=\cfrac{\omega_{0}}{2 \pi}=\cfrac{D^{'}}{2 \pi \sqrt{LC}}=400 Hz \\ & Q=D^{'}R \sqrt{\cfrac{C}{R}}=4 \Rightarrow 12\ dB \\ & f_{z}=\cfrac{\omega_{z}}{2 \pi}=\cfrac{D^{'2}R}{2 \pi DL}=2.65\ kHz \end{aligned} \tag{8.146} \]

圖8.35給出了\(G_{vd}\)的幅值和相位的bode圖。傳遞函數包含\(45.5\ dBV\)的直流增益，\(Q\)值為\(4 \Rightarrow\ 12\ dB\)的400Hz的諧振極點對，以及2.65 kHz的右半平面零點。一對諧振極點為高頻相位漸近線貢獻了-180°，而右半平面零點貢獻了-90°。此外，Buck-boost的反相特性使得相位具有180°的反轉，這並未包含在圖8.35中。

Fig. 8.35 Bode plot of the control-to-output transfer function \(G_{vd}\), buck–boost converter example. Phase reversal owing to output voltage inversion is not included

輸入-輸出傳遞函數的幅值和相位bode圖如圖8.36所示。該傳遞函數在400 Hz處包含相同的諧振極點對，但並無右半平面零點。其直流增益\(G_{g0}\)等於變換器的直流變換比\(M(D)\)。同樣的，由於Buck-boost變換器的輸出反相特性帶來的180°相位反轉並未考慮在圖內。

Fig. 8.36 Bode plot of the line-to-output transfer function \(G_{vg}\), buck–boost converter example. Phase reversal owing to output voltage inversion is not included

8.2.2 一些基本CCM變換器的傳遞函數

表8.2總結了基本buck，boost和Buck-boost變換器的輸入-輸出傳遞函數的特征值。在不同的電路中，控制-輸出傳遞函數都具有以下形式：

\[G_{vd}(s)=G_{d0} \cfrac{(1-\cfrac{s}{\omega_{z}})}{(1+\cfrac{s}{Q \omega_{0}}+(\cfrac{s}{\omega_{0}})^2)} \tag{8.147} \]

並且，輸入-輸出傳遞函數都具有以下形式：

\[G_{vg}(s)=G_{g0}\cfrac{1}{(1+\cfrac{s}{Q \omega_{0}}+(\cfrac{s}{\omega_{0}})^2)} \tag{8.148} \]

Table 8.2 Salient features of the small-signal CCM transfer functions of some basic dc–dc converters

在Boost和Buck-boost變換器的控制-輸出傳遞函數中，包含兩個極點和一個右半平面零點。而buck變換器的\(G_{vd}(s)\)中有兩個極點但無零點。三個理想變換器的輸入-輸出傳遞函數中均只有兩個極點，無零點。這些結果可以輕松適用於buck，boost和Buck-boost變換器的變壓器隔離版本。除了引入匝比以外，變壓器對傳遞函數\(G_{vd}(s)\)和\(G_{vg}(s)\)的影響可以忽略不計。例如，當全橋拓撲的變壓器對稱驅動時，其勵磁電感不會對變換器的小信號傳遞函數產生動態影響。同樣，當正激變換器的勵磁電感由輸入電壓重置(如圖6.24或6.29)，那么其影響也可以忽略不計。在所有基於buck，boost和Buck-boost的變壓器隔離式變換器中，輸入-輸出傳遞函數中應該乘以變壓器匝比。(8.147)和(8.148)的傳遞函數以及表8.2列出的參數可以直接使用。

8.2.3 變換器傳遞函數中RHP零點的物理來源

圖8.37包含了說明右半平面零點特性的框圖。在低頻段，\((s/\omega_{z})\)具有可忽略的幅值，因此\(u_{out} \approx u_{in}\)。在高頻段\((s/\omega_{z})\)幅值遠大於1，\(u_{out} \approx -(s/\omega_{z})u_{in}\)。負號會導致高頻的相位反轉。對瞬態響應的影響是：輸出的初值趨向於終值的反方向。

Fig. 8.37 Block diagram having a right half-plane zero transfer function, as in Eq. (8.32), with \(ω_0= ω_z\)

我們已經知道，如圖8.38所示的boost和Buck-boost變換器的控制-輸出傳遞函數存在RHP零點。占空比階躍變化的典型瞬態響應波形如圖8.39所示。對於這個例子，變換器最初在\(d=0.4\)和\(d^{'}=0.6\)的穩態下工作。圖中給出了穩態電感電流\(i_{L}(t)\)，輸出電壓\(v(t)\)以及二極管電流\(i_{D}(t)\)。平均二極管電流為：

\[\begin{matrix} <i_{D}>_{T_{s}}=d^{'}<i_{L}>_{T_{s}} \tag{8.149} \end{matrix} \]

當變換器工作於穩態時，根據電容電荷平衡，該平均二極管電流等於負載的直流電流。在\(t=t_{1}\)時，占空比增加到\(d=0.6\)，\(d^{'}=0.4\)。由式(8.149)給出的平均二極管電流減小，輸出電容開始放電。輸出電壓的幅值如圖所示在最開始會下降。

Fig. 8.38 Two basic converters whose CCM control-to-output transfer functions exhibit RHP zeroes: (a) boost, (b) buck–boost

Fig. 8.39 Waveforms of the converters of Fig.8.38, for a step response in duty cycle. The average
diode current and output voltage initially decrease, as predicted by the RHP zero. Eventually, the inductor current increases, causing the average diode current and the output voltage to increase

增大的占空比使得電感電流緩慢增加，因此平均二極管電流最終將超過其在\(d=0.4\)時的平衡值。輸出電壓幅值最終會增加到對應於\(d=0.6\)時的新的平衡值。

右半平面零點的存在將會破壞較寬帶寬的反饋回路的穩定性，因為在瞬態期間，輸出值在開始會朝着錯誤的方向偏差。下一章將討論用於反饋回路穩定性的相位裕度的測試。當右半平面零點存在時，在具有比較寬帶寬的常規單環反饋系統中很難獲得足夠的相位裕量。右半平面零點的預測以及為什么控制CCM的boost和Buck-boost變換器的反饋環路將趨於振盪的解釋是平均變換器建模的早期貢獻之一。