該系列為DR_CAN動態系統的建模與分析系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。
1 傳遞函數
一個流體模型的例子，以水的流入作為輸入，以水箱的高度作為輸出，通過對該模型的微分方程進行拉普拉斯變換，我們可以得到 \((s+g/R)X(s)=U(s)\) 這樣的方程，經過移項我們可以得到系統輸出與輸入的比值，而這個比值的表達式就是這個系統的傳遞函數
2 極點
我們現在給這個系統一個恆定的輸入，也就是一個常數 \(c\)。對這個輸入做拉普拉斯變換可以得到其在 \(s\) 域下的表現形式：\(U(s) = c/S\)。通過將系統輸入與傳遞函數相乘，我們可以求出系統在當前輸入下的輸出表現。
然后我們對其進行拉普拉斯逆變換，就可以得到系統輸出的時域函數。通過分析這個時域函數和它的圖像，我們可以看到在恆定輸入下這個系統是穩定的，系統輸出最終會收斂到 \(cR/g\) ：
這是一個典型的一階系統的響應，而這個系統的關鍵點，就在指數部分。可以看到這有 \(0t\) 和 \(-g/Rt\) 兩個指數。其中 0 意味着這個系統不會變，是穩定的，而 \(-g/R\) 意味着它會隨着時間不斷衰減。所以說這個系統是穩定的，不會隨着時間增長到無窮。
這兩個系數不僅出現在了系統輸出的時域函數中，同樣也出現在了其 \(s\) 域表達式中。這兩個值，便是使傳遞函數分母為 0 的值，這就是所謂的極點。
3 總結
經過上面的例子，我們就可以理解經典控制理論的一個基本理念了。就是通過設計不同的系統輸入，來配置這個系統的極點，讓這個極點達到一個我們期望的值，從而達到控制系統輸出的目的。