[Fundamental of Power Electronics]-PART I-2.穩態變換器原理分析-2.3 Boost 變換器實例

2.3 Boost 變換器實例

圖2.13(a)所示的Boost變換器器是另一個眾所周知的開關模式變換器，其能夠產生幅值大於直流輸入電壓的直流輸出電壓。圖2.13(b)給出了使用MOSFET和二極管的開關的實際實現。讓我們應用小紋波近似以及電感伏秒平衡和電容電荷平衡的原理來找到該變換器的穩態輸出電壓和電感電流。

Fig 2.13 Boost converter example

將開關置於位置1時，電感器的右側接地，從而形成圖2.14(a)的電路。此子間隔的電感電壓和電容電流為：

\[v_{L}=V_{g} \\ i_{C}=-\frac{v}{R} \tag{2.28} \]

Fig 2.14 Boost converter circuit

使用線性小紋波近似，令\(v \approx {V}\)，得到

\[v_{L}=V_{g} \\ i_{C}=-\frac{V}{R} \tag{2.29} \]

在開關處於位置2的情況下，電感連接至輸出，從而得到圖2.14(b)的電路。然后，電感電壓和電容電流為：

\[v_{L}=V_{g}-v \\ i_{C}=i_{L}-\frac{V}{R} \tag{2.30} \]

利用小紋波近似，即\(v \approx V\)，\(i_{L} \approx I\)，得到：

\[v_{L}=V_{g}-V \\ i_{C}=I-\frac{V}{R} \tag{2.31} \]

根據公式(2.29)和(2.31)繪制出電感電壓和電容電流波形如圖2.15所示：

Fig 2.15 Inductor voltage and capacitor current waveforms

從圖2.15(a)的電感電壓波形可以推斷出直流輸出電壓V大於輸入電壓\(V_{g}\)。在第一個子間隔內，直流輸出電壓V等於直流輸入電壓\(V_{g}\)，並且正的伏秒被施加到電感器。因為在穩態下，在一個開關周期內施加的總伏秒必須為零，所以在第二個子間隔內必須施加負伏秒。所以，第二個子間隔內的電感電壓\(V_{g}-V\)必須為負。因此，輸出電壓V大於直流輸入電壓\(V_{g}\)。

在一個開關周期內施加到電感器的總伏秒數為：

\[\int_0^{T_{s}} v_{L}(t)dt =V_{g} D T_{s}+(V_{g}-V) D^{'} T_{s} \tag{2.32} \]

令上式為0，並且整理得到：

\[V_{g} (D+D^{'})-V D^{'}=0 \tag{2.33} \]

求解上式中的V，同時有\((D+D^{'})=1\),得到輸出電壓為：

\[V=\frac{V_{g}}{D^{'}} \tag{2.34} \]

電壓轉換比M(D)是DC-DC變換器的輸出與輸入電壓之比。根據公式(2.34)可得出電壓轉換比為：

\[M(D)= \frac{V}{V_{g}} = \frac{1}{D^{'}}= \frac{1}{1-D} \tag{2.35} \]

該方程式描繪如圖2.16所示。在D=0，\(V=V_{g}\)時，輸出電壓隨D的增加而增加，在理想情況下，隨着D的趨向於1趨於無窮大。因此，理想的升壓變換器能夠產生任何大於輸入電壓的輸出電壓。當然，實際的升壓變換器會產生對輸出電壓的限制。在下一章中，對組件的非理想特性進行了建模，發現實際的升壓轉換器的最大輸出電壓確實受到限制。但是，如果非理想度足夠小，則可以產生非常大的輸出電壓。

Fig 2.16 Conversion ratio M(D) of the boost converter

電感電流的直流分量是通過使用電容電荷平衡原理得出的。在第一個子間隔期間，電容提供負載電流，並且電容部分放電。在第二個子間隔期間，電感電流為負載供電，此外還為電容充電。通過積分圖2.15(b)的波形，可以得出一個開關周期內電容器電荷的凈變化:

\[\int_0^{T_{s}} i_{C}(t)dt =- \frac{V}{R} D T_{s}+(I- \frac{V}{R}) D^{'} T_{s} \tag{2.36} \]

令上式為0，整理可得：

\[-\frac{V}{R} (D+D^{'})+ ID^{'} =0 \tag{2.37} \]

根據上式，求解出電流為：

\[I = \frac{V}{D^{'}R} \tag{2.38} \]

根據上式得到電感電流直流分量I，代入式(2.34)消除輸出電壓V可得：

\[I = \frac{V_{g}}{{D^{'}}^{2} R} \tag{2.39} \]

該方程式如圖2.17所示。可以看出，電感電流隨着D接近1而變大。

Fig 2.17 Variation of inductor current dc component I with duty cycle,boost converter

該電感電流與升壓變換器中的直流輸入電流一致，大於負載電流。從物理上講，必須是這樣：在理想的變換器元件情況下，變換器的輸入和輸出功率相等。由於變換器的輸出電壓大於輸入電壓，因此輸入電流必須同樣大於輸出電流。實際上，電感電流流過半導體正向壓降，電感繞組電阻和其他功率損耗源，當占空比接近1時，電感電流將變得非常大，並且這些組件的非理想性會導致較大的功率損耗。所以，升壓變換器的效率在高占空比時迅速降低。

接下來，讓我們繪制電感電流\(i_{L}(t)\)波形並推導電感電流紋波的表達式。圖2.15已經給出了電感電壓波形，因此我們可以直接繪制電感電流波形。在第一個子間隔期間，將開關置於位置1，電感電流的斜率由下式給出：

\[\frac {di_{L}(t)}{dt}= \frac{v_{L}(t)}{L} = \frac{V_{g}}{L} \tag{2.40} \]

同樣，當開關位於位置2時，電感器電流波形的斜率為:

\[\frac {di_{L}(t)}{dt}= \frac{v_{L}(t)}{L} = \frac{V_{g}-V }{L} \tag{2.41} \]

電感電流波形如圖2.18所示。在第一個子間隔期間，電感電流的變化等於斜率乘以子間隔的長度，或者：

\[2 \Delta i_{L} = \frac{V_{g}}{L} D T_{s} \tag{2.42} \]

求解\(\Delta i_{L}\)，得到

\[\Delta i_{L} = \frac{V_{g}}{2L} D T_{s} \tag{2.43} \]

該表達式可以用於給定電流紋波值后選擇相應的電感值。

Fig 2.18 Boost converter inductor current waveform

同樣，可以畫出電容電壓\(v(t)\)波形，並為輸出電壓紋波大小\(\Delta v\)導出一個表達式。電容電流\(i_{C}(t)\)波形如圖2.15所示。在第一個子間隔內，電容電壓\(v(t)\)波形的斜率為:

\[\frac {dv_{C }(t)}{dt}= \frac{i_{C}(t)}{C} = \frac{-V }{RC} \tag{2.44} \]

第二個時間間隔內：

\[\frac {dv_{C }(t)}{dt}= \frac{i_{C}(t)}{C} = \frac{I}{C}- \frac{-V }{RC} \tag{2.45} \]

電容電壓波形如圖2.19所示。在第一個子間隔期間，電容電壓的變化等於斜率乘以子間隔的長度：

\[-2 \Delta v= - \frac{V}{RC} DT_{s} \tag{2.46} \]

Fig 2.19 Boost converter output voltage waveform

求解$ \Delta v$ ，得到：

\[ \Delta v= \frac{V}{2RC} DT_{s} \tag{2.47} \]

該表達式可用於選擇電容器值C以獲得給定的輸出電壓紋波大小。