[Fundamental of Power Electronics]-PART I-2.穩態變換器原理分析-2.4 Cuk變換器實例

2.4 Cuk 變換器

作為第二個示例，考慮圖2.20（a）的變換器。該變換器執行類似於降壓-升壓變換器的直流轉換功能：它可以增加或減小直流電壓的幅值，並且可以反轉極性。使用晶體管和二極管的實際實現如圖2.20（b）所示。

Fig 2.20 Cuk converter example

這個變換器通過電容能量傳輸進行工作。如圖2.21所示，當開關位於位置2時，電容 \(C_{1}\) 通過電感\(L_{1}\)連接到輸入電源，電源能量存儲在\(C_{1}\)中。當開關處於位置1時，該能量通過\(L_{2}\)釋放到負載。

在圖2.20（a）中定義了電感電流和電容電壓，並在一定程度上任意分配了極性(正負號）。在本節中，將應用電感伏秒平衡和電容電荷平衡的原理來得出電感電流和電容電壓的直流分量。並且計算電壓和電流紋波幅度。

在第一個子間隔期間，當開關處於位置1時，轉換器電路變為圖2.21（a）。電感電壓和電容電流為：

\[v_{L1}=V_{g}\\ v_{L2}=-v_{1}-v_{2}\\ i_{C1}=i_{2}\\ i_{C2}=i_{2}-\frac{v_{2}}{R} \tag{2.48} \]

接下來，我們假設和直流分量\(I_{1},I_{2},V_{1},V_{2}\)相比，其開關紋波幅值\(i_{1}(t),i_{2}(t),v_{1}(t),v_{2}(t)\)非常小，這時候可以用小紋波近似，即：

\[v_{L1}=V_{g}\\ v_{L2}=-V_{1}-V_{2}\\ i_{C1}=I_{2}\\ i_{C2}=I_{2}- \frac{V_{2}}{R} \tag{2.49} \]

在第二個子間隔中，將開關置於位置2時，變換器電路元件的連接如圖2.21（b）所示。電感電壓和電容電流為：

\[v_{L1}=V_{g}-v_{1} \\ v_{L2}=-v_{2} \\ i_{C1}=i_{1} \\ i_{C2}=i_{2}- \frac{v_{2}}{R} \tag{2.50} \]

同樣進行小紋波近似

\[v_{L1}=V_{g}-V_{1}\\ v_{L2}=-V_{2}\\ i_{C1}=I_{1}\\ i_{C2}=I_{2}- \frac{V_{2}}{R} \tag{2.51} \]

Fig 2.21 Cuk converter circuit with switch in positions 1 and 2

公式（2.49）和（2.51）用於繪制圖2.22中的電感電壓和電容電流波形。

Fig 2.22 Cuk converter waveforms

下一步是將圖2.22的波形的直流分量或平均值等效為零，以找到變換器中的穩態條件。結果是：

\[<v_{L1}>=D V_{g}+D^{'}(V_{g}-V{1})\\ <v_{L2}>=D(-V_{1}-V_{2})+D^{'}(-V_{2})=0\\ <i_{C1}>=DI_{2}+D^{'}I_{1}=0\\ <i_{C2}>=I_{2}- \frac{V_{2}}{R} \tag{2.52} \]

求解電容電壓與電感電流平均值為

\[V_{1}= \frac{V_{g}}{D^{'}} \\ V_{2}= -\frac{D}{D^{'}}V_{g} \\ I_{1}=- \frac {D}{D^{'}} I_{2}=(\frac{D}{D^{'}})^2 \frac{V_{g}}{R}\\ I_{2}= \frac{V_{2}}{R}=- \frac{D}{D^{'}} \frac{V_{g}}{R} \tag{2.53} \]

直流輸出電壓\(V_{2}\)與占空比D之間關系在圖2.23中給出

Fig 2.23 Cuk converter conversion ratio M = V/Vg

電感電流以及電容電壓波形如圖2.24(a)-(c)所示，第一個子間隔區間各波形斜率如下所示

\[\frac{di_{1}(t)}{dt}= \frac{v_{L1}(t)}{L_{1}} = \frac{V_{g}}{L_{1}}\\ \frac{di_{2}(t)}{dt}= \frac{v_{L2}(t)}{L_{1}} = \frac{-V_{1}-V_{2}}{L_{2}}\\ \frac{dv_{1}(t)}{dt}= \frac{i_{C1}(t)}{C_{1}} = \frac{I_{2}}{C_{1}} \tag{2.54} \]

Fig 2.24 Inductor current waveforms and Capacitor C1 waveform

第二個時間間隔內，各波形斜率如下所示：

\[\frac{di_{1}(t)}{dt}= \frac{v_{L1}(t)}{L_{1}} = \frac{V_{g}-V_{1}}{L_{1}}\\ \frac{di_{2}(t)}{dt}= \frac{v_{L2}(t)}{L_{1}} = \frac{-V_{2}}{L_{2}}\\ \frac{dv_{1}(t)}{dt}= \frac{i_{C1}(t)}{C_{1}} = \frac{I_{2}}{C_{1}} \tag{2.55} \]

在第二個子區間內，使用式(2.51)中相應參數代替\(v_{L1},v_{L2},i_{C1}\)

在第一個子區間內，使用\(2\Delta i_{1},-2 \Delta i_{2}\)，和\(-2 \Delta v_{1}\)，來代替\(i_{1}(t),i_{2}(t)\)，和\(v_{1}(t)\)的改變量。這些變化量除以區間長度\(D T_{s}\)，就等於公式(2.54)中的各個斜率。我們得到

\[\Delta i_{1}= \frac{V_{g} D T_{s}}{2 L_{1}} \\ \Delta i_{2}= \frac{V_{1}+V_{2}}{2 L_{2}} D T_{s} \\ \Delta v_{1}= \frac{- I_{2} D T_{s}}{2 C_{1}} \tag{2.56} \]

公式(2.53)中的直流量關系，可以用來簡化上式，代替\(V_{1},V_{2}\)，和\(I_{1}\)，我們得到

\[\Delta i_{1}= \frac{V_{g} D T_{s}}{2 L_{1}} \\ \Delta i_{2}= \frac{V_{g} D T_{s}}{2 L_{2}} \\ \Delta v_{1}= \frac{V_{g} D^2 T_{s}}{2 D^{'} R C_{1}} \tag{2.57} \]

同樣的，這個公式可以在各個紋波量確定后，用來確定\(L_{1},L_{2},C_{1}\)的值。

類似的方法卻不能用來計算輸出濾波電容電壓\(V_{2}(t)\)的紋波幅值。根據圖2.22(d)，電流\(i_{C2}(t)\)是連續的,不像\(v_{L1},v_{L2},i_{C1}\)，它是非脈動的。如果\(i_{2}(t)\)的開關紋波被忽略了，那么\(i_{C2}(t)\)就不含交流分量，然后根據小紋波近似得到結論，輸出開關紋波\(\Delta v_{2}\)為0。

當然，輸出電壓紋波並不是0，要估算變換器輸出電壓紋波大小，就不能忽略電感電流\(i_{L2}(t)\)中的開關紋波，因為這個紋波是輸出電容電壓波動的唯一交流來源。下一節將討論如何使用簡化的方法分析Cuk變換器以及其他變換器中類似的問題。