Chapter 2 簡單DC-DC變換器穩態分析小結
1 本章重點
1.1 小紋波近似
所謂小紋波近似就是DC-DC變換器的穩態分析中，假定開關頻率次的紋波相對於直流分量而言非常小，可以將其忽略進行各直流分量的計算。
例：Buck變換器輸出電壓包含直流分量\(V\)以及開關頻率紋波\(v_{ripple}(t)\)
\[v(t) = V+v_{ripple}(t) \tag{1} \]
應用小紋波近似后
\[v(t) \approx V \tag{2} \]
1.2 電感伏秒平衡
首先我們知道電感的電壓電流關系式為
\[v_{L}(t) = L \frac{d_{i}(t)}{dt} \tag{3} \]
對上式左右分別在一個開關周期內進行積分
\[\int _{0} ^{T_{s}} v_{L}(t)dt =L \int _{0} ^{T_{s}} d_{i}(t) \tag{4} \]
由於變換器穩態工作時，電感電流一個周期內變化量為0，即
\[\int _{0} ^{T_{s}} v_{L} (t) dt =0 \tag{5} \]
1.3 電容電荷平衡
同樣的，電容電壓電流關系為
\[i_{C}(t) = C \frac{d u_{C}(t)}{dt} \tag{6} \]
上式左右分別在一個周期內積分
\[\int _{0}^{T_{s}} i_{C}(t) dt =C \int _{0} ^{T_{s}} d u_{C}{t} \tag{7} \]
同理，變換器穩態工作時，電容電壓在一個周期內變化量也為0，即
\[\int _{0} ^{T_{s}} i_{C}(t)dt =0 \tag{8} \]
1.4 電容定義式
分析電容狀態時，還可能用到電容定義式
\[C= \frac{ \Delta Q}{\Delta V} \tag{9} \]
上式中，\(\Delta Q\)為電荷量變化量，\(\Delta V\)為電容電壓變化量
2 分析方法
對於Buck，Boost，Buck-Boost以及Cuk電路中均只有一個開關管，這里可以按照開關管工作狀態將整個電路分為開關管導通與開關管關斷兩個狀態。
對於整個電路分析，根據前節的幾個電感及電容相關原理，以穩態下電感電壓及電容電流一個周期內變化值為0作為分析切入點，列寫相應的伏秒平衡，電容電荷平衡等式。
然后求解相應的電流，輸出電壓以及電感電流紋波，電容電壓紋波等參數。
3 Buck電路分析
如圖1所示為Buck變換器示意圖，此后對CCM狀態下電路進行分析。
圖1 Buck電路示意圖
根據開關管的導通狀態，分為導通和關斷兩個階段對電路進行分析：
這里設電感電流直流量為\(I\)，輸出電壓直流量為\(V\)。
\(Q_{1}\)導通時(\(0<t<D T_{s}\))：
電感電壓(左正右負)
\[v_{L} = V_{g}-V \tag{10} \]
電容電流(向下為正)
\[i_{C} = I-\frac{V}{R} \tag{11} \]
\(Q_{1}\)關斷時(\(DT_{s}<t<T_{s}\))：
電感電壓(左正右負)
\[v_{L} =-V \tag{12} \]
電容電流(向下為正)
\[i_{C} = -\frac{V}{R} \tag{13} \]
將式(10)-(13)分別代入伏秒平衡及電荷平衡公式有：
\[\int _{0} ^{T_{s}} v_{L} (t) dt =(V_{g}-V)DT_{s}-V(1-D)T_{s}=0 \\\int _{0} ^{T_{s}} i_{C}(t)dt =(I- \frac{V}{R} )DT_{s} -\frac{V}{R}(1-D)T_{s} = 0 \tag{14} \]
根據式(14)，可以求解出Buck變換器輸出電壓直流分量以及電感電流的直流分量值
\[V=DV_{g} \\I=\frac{ DV_{g}}{R}\tag{15} \]
此外，為了設計電感及電容，還要計算電感電流紋波及電容電壓紋波。
電感電流紋波\(\Delta i_{L}\)計算原理可以根據穩態時電感電流在一個周期內變化量為0計算，即開關管導通或關斷間隔內，電感電流的變化量相等。以開關管導通為例：根據式(3)可以有
\[V_{g}-V =L \frac{ 2 \Delta i_{L}}{DT_{s}} \tag{16} \]
則電感電流紋波\(\Delta i_{L}\)為
\[\Delta i_{L} =\frac{V_{g}-V}{2L} DT_{s} = \frac{(1-D)V_{g}DT_{s}}{2L} \tag{17} \]
對於電容電壓紋波\(\Delta v\)，通過電荷平衡進行計算。假定電容\(C\)非常大，那么電感\(L\)上的紋波不會流經負載\(R\)，全部從電容\(C\)流過，也就是電容流過的電流為電感實際電流\(i_{L}\)減去直流分量\(I\)后的紋波電流，如圖2所示。電容電壓也就是在輸出電壓的直流分量\(V\)上有\(\Delta v\)的波動。
圖2 電容電流及電壓波形
其中，當電容電流為正時，電容充電，電壓升高，且一個開關周期內，電容電壓升高與下降幅值相同。根據圖2可以知道，電流陰影部分對應的積分值即為電容在該時段內的電荷變化量。根據電流變化的對稱性我們還可以知道該段時間長度為\(T_{s}/2\)。計算其面積為：
\[q = \frac{1}{2} \frac{T_{S}}{2} \Delta i_{L} \tag{18} \]
再根據式(9)，可以得到電容電壓紋波值為：
\[\Delta v = \frac{\Delta i_{L} T_{s}}{8C} \tag{19} \]
將式(17)代入式(19)，得到
\[\Delta v = \frac{D(1-D) V_{g} {T_{s}}^2}{16LC} \tag{20} \]
為了驗證上述分析的正確性，我們根據下表的參數進行仿真：
| 變量 |
值 |
| \(V_{g} /V\) |
100 |
| \(T_{s} /s\) |
0.0002 |
| \(D\) |
0.5 |
| \(L/mH\) |
5 |
| \(C/ \mu F\) |
100 |
| \(R/ \Omega\) |
10 |
表1 Buck變換器參數表
根據式(15),(17)以及(20)，計算相應輸出電壓，電感電流，電感電流紋波以及電容電壓紋波大小
\[V = D V_{g} =0.5*100=50V \\I = \frac{ DV_{g}}{R} = \frac{ 0.5*100}{10}=5 A \\\Delta i_{L} = \frac{(1-D)V_{g}DT_{s}}{2L} = \frac{0.5*100*0.5*0.0002}{2*0.005}=0.5A \\\Delta v = \frac{D(1-D) V_{g} {T_{s}}^2}{16LC} = \frac{0.5*0.5*100*0.002*0.002}{16*0.005*0.0001} = 0.125V \tag{21} \]
圖3 Buck變換器電感電流及輸出電壓波形圖
圖中所示為Buck變換器的電感電流波形與輸出電壓波形，與計算結果相吻合，可以證明計算結果的正確性。
4 Boost電路分析
圖4 Boost電路示意圖
如圖4所示為Boost電路示意圖，
同理，這里設電感電流直流量為\(I\)，輸出電壓直流量為\(V\)。
\(Q_{1}\)導通時(\(0<t<D T_{s}\))：
電感電壓(左正右負)
\[v_{L} = V_{g} \tag{22} \]
電容電流(向下為正)
\[i_{C} = -\frac{V}{R} \tag{23} \]
\(Q_{1}\)關斷時(\(DT_{s}<t<T_{s}\))：
電感電壓(左正右負)
\[v_{L} =V_{g}-V \tag{24} \]
電容電流(向下為正)
\[i_{C} = I-\frac{V}{R} \tag{25} \]
將式(22)-(25)分別代入伏秒平衡及電荷平衡公式有：
\[\int _{0} ^{T_{s}} v_{L} (t) dt =V_{g}DT_{s}+(V_{g}-V)(1-D)T_{s}=0 \\\int _{0} ^{T_{s}} i_{C}(t)dt =(- \frac{V}{R} )DT_{s} +(I-\frac{V}{R})(1-D)T_{s} = 0 \tag{26} \]
根據式(14)，可以求解出Boost變換器輸出電壓直流分量以及電感電流的直流分量值
\[V=\frac{V_{g}}{1-D} \\I=\frac{ V_{g}}{(1-D)^2 R}\tag{27} \]
同理，開關管導通時，電感電流紋波\(\Delta i_{L}\)可以計算為
\[V_{g} = L \frac{2 \Delta i_{L}}{D T_{s}} \tag{28} \]
則
\[\Delta i_{L} = \frac{V_{g} D T_{s}}{2L} \tag{29} \]
而電容電壓紋波可以根據電荷平衡，利用導通時的電容電流
\[- \frac{V}{R}= C \frac{-2 \Delta v}{D T_{s}} \tag{30} \]
電容電壓紋波為
\[\Delta v = \frac{V}{2RC} D T_{s}=\frac{V_{g}}{2(1-D)RC} D T_{s} \tag{31} \]
實際上這里Boost電路輸出濾波電容紋波計算方式與Buck電路輸出濾波電容計算不同，是由於Buck電路輸出濾波電路中電感\(L\)與電容\(C\)形成了二極點，小紋波近似失效，所以二者計算方式不同。
Boost電路參數設置同表1，計算相應的電感電流，輸出電壓，電感電流紋波以及電容電壓紋波
\[V = \frac{V_{g}}{1-D} =\frac{100}{1-0.5}=200V \\I = \frac{ V_{g}}{(1-D)^2 R} = \frac{ 100}{(1-0.5)^2 10}=40 A \\\Delta i_{L} = \frac{V_{g}DT_{s}}{2L} = \frac{100*0.5*0.0002}{2*0.005}=1A \\\Delta v = \frac{V_{g}DT_{s}}{2(1-D)RC} = \frac{100*0.5*0.0002}{2*0.5*10*0.0001}=10V \tag{32} \]
圖4 變換器電感電流及輸出電壓波形圖
