[Fundamental of Power Electronics]-PART I-5.不連續導電模式-5.1 DCM來源和模式邊界

引子：

當使用電流單向和/或電壓單向半導體開關實現DC-DC變換器的理想開關時，可能會出現一種或多種被稱為不連續導電模式(DCM)的新工作模式。當電感電流或電容電壓的紋波大到足以導致所施加的開關電流或電壓極性反轉時，出現的不連續導通的模式，從而這違反了使用半導體器件實現開關時所做出的的電流或者電壓單向的假設。DCM通常出現在DC-DC變換器和整流器中，有時也會出現在逆變器或者其他包含兩象限開關的變換器中。

DCM通常發生在輕載工作且包含電流單向開關的變換器中，電感電流紋波較大。由於通常要求變換器在輕載的情況下工作，因此經常會遇到DCM。事實上，有些變換器專門設計為在所有負載下以DCM工作。

變換器的性質在DCM下發生了根本變化。變換比M變得依賴於負載，並且輸出阻抗增加。負載減輕或者去除時，輸出控制可能會失效。我們將在后面的章節中看到，變換器的動態特性也發生了顯著變化。

本章解釋了DCM的起源，並推導出了模式邊界。還描述了用於解決變換器波形和輸出電壓的技術。不管工作模式如何，電感伏秒平衡和電容電荷平衡的原理在穩態下必須始終正確。然而，應用小紋波近似需要一定的謹慎，因為電感電流紋波(或電感電流或電容電壓紋波之一)並不小。

以Buck和Boost變換器為例進行求解。基本降壓、升壓和降壓升壓轉換器的特性以表格形式總結。

5.1 DCM來源和模式邊界

Fig 5.1 Buck converter example

讓我們考慮電感和開關電流波形如何隨着負載功率的降低而變化。讓我們以圖5.1所示的Buck變換器作為一個簡單的例子。連續模式下的電感電流\(i_{L}(t)\)和二極管電流波形如圖5.2所示。正如第二章所述，電感電流\(i_{L}(t)\)包含一個直流分量\(I\)，加上一個峰值為\(\Delta i_{L}\)的開關紋波。在第二個子間隔內，二極管的電流等於電感電流。在此期間，二極管的最小電流為\((I-\Delta i_{L})\)。而二極管是單象限開關器件，工作在CCM下需要電流恆為正值。在第二章中，電感電流的直流分量\(I\)等於負載電流：

\[I=\frac{V}{R} \tag{5.1} \]

由於沒有直流電流流過電容C，可以看做電流\(I\)取決於負載電阻\(R\)。開關紋波的幅值為：

\[\Delta i_{L}=\frac{(V_{g}-V)}{2L}DT_{s}=\frac{V_{g}DD^{'}T_{s}}{2L} \tag{5.2} \]

紋波電流幅值取決於電壓\((V_{g}-V)\)，電感\(L\)以及晶體管導通時間\(DT_{s}\)。但是它並不取決於負載電阻\(R\)。電感電流紋波隨電壓變化而不是電流。

Fig 5.2 Buck converter waveforms in the continuous conduction mode: inductor current and diode current.

假設現在負載電阻\(R\)增加，因此直流負載電流減小。電感電流的直流分量\(I\)也會減小，但紋波電流幅值\(\Delta i_{L}\)不會變化。如果我們持續增加\(R\)，如圖5.3所示，直至工作點達到\(I=\Delta i_{L}\)。可以看到，在開關周期最后時刻，電感電流\(i_{L}(t)\)和二極管電流\(i_{D}(t)\)均為0。而此時負載電流依然是正的且非零。

Fig 5.3 Buck converter waveforms at the boundary between the continuous and discontinuous conduction modes: inductor current and diode current

當我們繼續增加電阻\(R\)會發生什么？二極管電流是不可能為負值的；因此，在開關周期結束前，二極管必定是反向偏置的。如圖5.4所示，在每個開關周期\(T_{s}\)內，有三個間隔區間。在第一個間隔為\(D_{1} T_{s}\)的區間，晶體管導通，在第二個間隔為\(D_{2} T_{s}\)的區間，二極管導通。在第二個區間結束后，二極管電流變為0，在開關周期的剩余時間里，二極管和晶體管都不會導通。此時變換器就是工作在不連續導電模式(DCM)。

Fig 5.4 Buck converter waveforms in the discontinuous conduction mode: inductor current and diode current.

圖5.3給出了一種尋找連續和不連續導電模式邊界的方法。可以看出，對於該Buck變換器示例，二極管電流在整個區間\(DT_{s}<t<T_{s}\)上為正的條件是\(I>\Delta i_{L}\)。因此工作在CCM和DCM的條件為：

\[I>\Delta i_{L} (for CCM) \\ I<\Delta i_{L} (for DCM) \tag{5.3} \]

其中\(I\)和\(\Delta i_{L}\)是在假設變換器工作在CCM下得到的。將式(5.1)和(5.2)代入式(5.3)得到如下所示的DCM工作的條件：

\[\frac{D V_{g}}{R} <\frac{D D^{'} T_{s} V_{g}}{2L} \tag{5.4} \]

簡化公式：

\[\frac{2L}{R T_{s}}<D^{'} \tag{5.5} \]

同樣可以表示為

\[K<K_{crit}(D)--for DCM \tag{5.6} \]

其中\(K=2L/(RT_{s})\)，並且\(K_{crit}(D)=D^{'}\)。

無量綱參數K是變換器以不連續導電模式運行的趨勢的量度。K值大導致CCM運行，而對於某些占空比值，K值小導致DCM運行。不同模式間的臨界值\(K_{crit}(D)\)是占空比的函數，對於Buck變換器而言，他等於\(D^{'}\)。

臨界值\(K_{crit}(D)\)與占空比之間關系圖如圖5.5所示。並且任意選擇了一個\(K\)作為示例。對於圖中所示的值，可以看出變換器在低占空比時工作在DCM，在高占空比時工作在CCM。圖5.6說明了重載的情況。負載電阻R的值減小，使得K更大。如果K大於1，則變換器在所有占空比下都以CCM工作。

Fig 5.5 Buck converter \(K_{crit}(D)\) vs \(D\). The converter operates in CCM when \(K>K_{crit}\)，and in DCM when \(K<K_{crit}\)

Fig 5.6 Comparison of \(K\) with \(K_{crit}(D)\)，for a larger value of \(K\). Since \(K>1\)，the converter operates in the CCM for all \(D\).

那么就可以很自然的用負載電阻\(R\)而非無量綱參數\(K\)來表示工作模式的邊界。式(5.6)可以重新調整，直接揭示工作模式邊界對負載電阻的依賴性:

\[R<R_{crit}(D)--for CCM \\R>R_{crit}(D)--for DCM \tag{5.7} \]

其中

\[R_{crit}(D)=\frac{2L}{D^{'}T_{s}} \]

因此，當負載電阻\(R\)超過臨界值\(R_{crit}\)時，變換器進入DCM。這個臨界值取決於電感值，開關周期和占空比。注意，由於\(D^{'} \leq 1\)，\(R_{crit}\)的最小值是\(2L/T_{s}\)。因此，如果\(R<2L/T_{s}\)，則變換器在所有占空比下都會工作在CCM。

這個結果可以應用於並非純線性電阻的負載。有效電阻負載可以定義為直流輸出電壓與直流負載電流的比值\(R=V/I\)。該有效電阻可用於上述等式。

其他變換器也可以進行類似的工作模式邊界分析。Boost變換器在第5.3節中進行了分析，Buck-Boost作為第一個家庭作業。表5.1列出了三種基本DC-DC變換器的分析結果。在每種情況下，無量綱參數\(K\)定義為\(K=2L/(RT_{s})\)，並且模式邊界如下所示：

\[K>K_{crit}(D)-or-R<R_{crit}(D)--CCM\\K<K_{crit}(D)-or-R>R_{crit}(D)--DCM \tag{5.8} \]

Tab 5.1 CCM-DCM mode boundaries for the buck, boost, and buck-boost converters.