9.6 環路增益的測量
測量原型反饋系統的環路增益是一個非常好的工程實踐。這種實踐的目的是驗證系統是否被正確地建模。如果是的，那么已經應用了良好控制器設計的系統，其特性將滿足相關瞬態過沖(相角裕度)，干擾抑制，直流電壓輸出等方面的期望。不幸的是，總有一些原因導致實際系統與理論模型不同。可能會出現原始系統中無法解釋的現象，並且嚴重影響系統的特性。可能存在噪聲和電磁干擾(EMI)，這會導致系統傳遞函數以意想不到的方式偏移。
因此，讓我們來考慮圖9.46所示反饋系統的環路增益\(T(s)\)的測量。我們將在某個點A(網絡的兩個電氣連接點)上進行測量。在圖9.46中，塊1的輸出端口由戴維南等效網絡表示，該網絡由受控電壓源\(G_{1}\hat{v}_{e}\)和輸出阻抗\(Z_{1}\)組成。塊1的負載是塊2的輸入阻抗\(Z_{2}\)。反饋系統的其余部分由所示的框圖表示。系統的環路增益為：
該環路增益的測量提出了其他頻率響應測量中不存在的幾個挑戰。
Fig. 9.46 It is desired to determine the loop gain T(s) experimentally, by making measurements at point A
原則上，可以在A點打破環路，並嘗試使用前述章節的傳遞函數測量方法來測量\(T(s)\)。如圖9.47所示，將使用直流電源電壓\(V_{CC}\)和電位計在電壓\(v_{x}\)中建立直流偏置，從而使得網絡中所有元件都在正確的靜態工作點。\(v_{z}(t)\)中的交流電壓變化通過隔直電容耦合到注入點。系統其它任何獨立交流輸入都被禁止。網絡分析以用於測量電壓\(v_{y}(t)\)和\(v_{x}(t)\)交流分量的相對幅值和相位：
圖為：
Fig. 9.47 Measurement of loop gain by breaking the loop
測得的增益\(T_{m}(s)\)與實際增益\(T(s)\)是不同的，因為通過斷開測量點上塊1和塊2之間的連接，我們消除了塊2在塊1上的負載。圖9.47的測量增益\(T_{m}(s)\)為：
公式(9.83)和(9.85)結合，可以用\(T(s)\)來表示\(T_{m}(s)\)：
因此：
因此，為了獲得准確的測量結果，我們需要找到一個在待測頻率范圍內負載可忽略不計的注入點。
使用圖9.47所示的方法會遇到其他的問題。最嚴重的的問題就是利用電位計調節直流偏置。直流環路增益通常非常大，尤其是在使用PI控制器時。因此，\(v_{x}(t)\)直流分量的微小變化會導致系統中某些元件的直流偏置發生非常大的變化。所以很難在電路中建立合適的直流條件。在實驗期間，直流增益可能會發生漂移，從而使問題更加嚴重，並且誤差放大器的飽和也是常見的問題。並且，我們已經看到，變換器的增益可以是靜態工作點的函數。與正確工作點的顯著偏差可能導致測得的增益與實際工作條件的環路增益不同。
9.6.1 電壓注入
避免直流偏置問題的方法如圖9.48所示。電壓源\(v_{z}(t)\)注入到塊1和塊2之間，而不會打破反饋環路。\(v_{z}(t)\)的交流變化再次引起反饋系統中的變化，但直流偏置條件由電路決定。實際上，如果\(v_{z}(t)\)不包含直流分量，那么系統本身的偏置電路將建立靜態工作點。因此，環路增益的測量是在實際的系統工作點進行的。
Fig. 9.48 Measurement of loop gain by voltage injection
在圖9.48中，通過戴維南等效網絡對注入源進行建模，這個網絡包含了一個具有阻抗\(Z_{s}(s)\)的獨立電壓源。\(v_{z}\)和\(Z_{s}\)的大小與環路增益無關。但是，\(v_{z}\)的注入破壞了塊2在塊1上的加載。因此，必須找到合適的注入點，此時加載的效果可以忽略不計。
為了通過電壓注入的方法來測量環路增益，我們連接網絡分析儀來測量\(\hat{v}_{x}\)到\(\hat{v}_{y}\)的傳遞函數。系統的獨立交流輸入設置為0，網絡分析儀在預期頻率范圍內掃描注入電壓\(\hat{v}_{z}(t)\)。測得的增益為：
讓我們來求解圖9.48，將測得的實際增益\(T_{v}(s)\)與式(9.83)給出的實際環路增益\(T(s)\)比較。誤差為：
電壓\(\hat{v}_{y}\)可以寫為：
其中\(\hat{i}(s)Z_{1}(s)\)是阻抗\(Z_{1}\)上的壓降。將式(9.89)代入式(9.90)得到：
但是\(\hat{i}(s)\)為：
因此，式(9.91)變為：
將式(9.93)代入式(9.88)可以得到如下所示測量增益\(T_{v}(s)\)的表達式：
式(9.83)和(9.94)可以結合來用實際環路增益\(T(s)\)表示測量增益\(T_{v}(s)\)：
因此，\(T_{v}(s)\)可以表示為兩項之和。第一項可以表示為正比於實際環路增益\(T(s)\)，並且在\(||Z_{1}||< <||Z_{2}||\)時近似等於\(T(s)\)。第二項並不是正比於\(T(s)\)，其限制了可以用電壓注入技術測量的最小的\(T(s)\)。如果\(Z_{1}/Z_{2}\)在幅值上遠小於\(T(s)\)，那么第二項可以忽略，並且\(T_{v}(s)=T(s)\)。在\(T(s)\)的幅值小於\(Z_{1}/Z_{2}\)的頻率范圍內，必須丟棄測量數據。因此：
並且基於：
再次注意，注入源阻抗\(Z_{s}\)是無關緊要的。
作為一個例子，考慮在運算放大器的輸出端注入電壓，其輸出阻抗為50 Ω，可驅動500 Ω的負載。注入點附近的系統如圖9.49所示。因此，\(Z_{1}(s)=50 \Omega\)以及\(Z_{2}(s)=500\Omega\)。比值\(Z_{1}/Z_{2}\)為0.1或者說是-20dB。讓我們進一步假設，實際環路增益\(T(s)\)包含10 Hz和100 kHz的極點，並且直流增益為80 dB。實際環路增益幅值如圖9.50所示。
Fig. 9.49 V oltage injection example
Fig. 9.50 Comparison of measured loop gain Tv and actual loop gain T, voltage injection example. The measured gain deviates at high frequency
電壓注入使得測量\(T_{v}(s)\)由式(9.95)給出，注意到：
因此，對於很大的\(||T||\)，測量的\(||T_{v}||\)與實際的環路增益偏差值小於1 dB。然而，高頻處\(||T||\)小於-20 dB，測得的增益有很大的差別。顯然，\(T_{v}(s)\)中包含\(T(s)\)中不存在的高頻零點。取決於這些零點的\(Q\)因子，\(T_{v}\)在穿越頻率附近的相角可能會受到影響。為了確保正確測量相角裕度，重要的就是要\(Z_{1}/Z_{2}\)的大小足夠小。
9.6.2 電流注入
前面的結果也可以以另一種形式獲得，其中環路增益通過電流注入來測量。如圖9.51所示，我們可以用諾頓等效對塊1和分析儀的注入源進行建模，並且利用電流探頭測量\(\hat{i}_{x}\)和\(\hat{i}_{y}\)。通過電流注入測得的增益為：
圖為：
Fig. 9.51 Measurement of loop gain by current injection
可以證明：
因此:
並且：
因此，為了通過電流注入獲得對環路增益的准確測量，我們必須在網絡中找到一個點，其中塊2 的輸入阻抗足夠小。再次注意，注入源阻抗\(Z_{s}\)不會影響測量。實際上，我們可以使用如圖9.52所示的戴維南等效源來實現\(i_{z}\)。網絡分析儀注入源由電壓源\(\hat{v}\)和輸出電阻\(R_{s}\)表示。並且，插入了一個串聯電容\(C_{b}\)來避免破壞注入點的直流偏置。
Fig. 9.52 Current injection using Thevenin-equivalent source
9.6.3 不穩定系統的測量
當原型反饋系統是不穩定的，我們甚至更希望能夠測量出環路增益來找出問題所在。但是，當系統振盪時，無法進行測量。我們需要穩定系統，同時還要測量原始的不穩定的環路增益。我們知道注入源的阻抗\(Z_{s}\)不會影響測量的環路增益，利用這一點有可能實現。如圖9.53所示，我們甚至可以添加額外的電阻\(R_{ext}\),從而有效的增加源阻抗\(Z_{s}\)。測量的環路增益\(T_{v}(s)\)也是不受影響的。
Fig. 9.53 Measurement of an unstable loop gain by voltage injection
增加串聯阻抗通常會降低系統的環路增益，從而導致較低的穿越頻率和更加"正"的相角裕度。因此，通常可添加足夠大以穩定系統的電阻\(R_{ext}\)。根據式(9.96)，式(9.88)中的增益\(T_{v}(s)\)仍近似等於原不穩定的環路增益。為了避免干擾直流偏置條件，可能有必要用電感\(L_{ext}\)將\(R_{ext}\)旁路。如果電感值足夠大，那么不會影響修改后系統的穩定性。
9.7 要點小結
1.負反饋使系統輸出根據增益\(1/H(s)\)緊隨參考輸入。擾動和前向通路增益變化對輸出的影響也被減小了。
2.環路增益\(T(s)\)等於前向通路和反饋路徑中增益的乘積。環路增益是對反饋系統工作情況的衡量：較大的環路增益可得到更好的輸出調節。穿越頻率\(f_{c}\)處的環路增益為單位1，其是控制系統帶寬的量度。
3.反饋的引入使得擾動-輸出傳遞函數乘以系數\(1/(1+T(s))\)。在\(T\)的幅值較大(例如：低於穿越頻率時)的頻率，這個系數大概等於\(1/T(s)\)。因此，低頻干擾對輸出的影響減小了\(1/T(s)\)。在\(T\)的幅值較小(例如：高於穿越頻率)時，這個系數近似為1。然后，反饋環路將不起作用。可以使用圖形化代數方法輕松構建閉環擾動-輸出的傳遞函數，如輸入-輸出傳遞函數和輸出阻抗等。
4.可以使用相位裕度來評估系統穩定性。對\(T\)在穿越頻率下的相角進行評估，來推導閉環量\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)的穩定性。相角裕度不足會導致系統瞬態響應出現振鈴和過沖，並導致閉環傳遞函數出現峰值。
5.在反饋環路的前向通道中添加補償器可以調整環路增益，從而獲得所需的性能。添加了超前補償器(PD控制器)，可以改善相角裕度，並擴展系統帶寬。PI控制器可以用來增加低頻環路增益，改善對低頻干擾的抑制並減小穩態誤差。
6.環路增益可以通過電壓或電流注入來實驗測量。這種方法避免了在系統中建立正確靜態工作條件的問題，這是具有較大直流環路增益系統的常見困難。在級間載荷不大的地方必須找到一個注入點。並且，我們還可以測量不穩定系統的環路增益。