[Fundamental of Power Electronics]-PART II-7. 交流等效電路建模-7.4 規范電路模型

7.4 規范電路模型

在討論了推導開關變換器交流等效電路模型的幾種方法后，讓我們先停下來，說明下這些結果。所有的在 CCM下以PWM工作的DC-DC變換器都具有相似的基本功能。首先，他們在理想情況下，以100%效率對電壓或者電流等級進行轉換。其次，他們包含對波形的低通濾波器。盡管必須濾除高頻開關紋波，但這種濾波也會影響到低頻電壓和電流的變化。第三，可以通過占空比的變化來控制變換器的波形。

我們期望具有相似物理特性的變換器具有相似的等效電路結構。因此，我們可以定義一個規范電路模型，來正確說明所有這些基本電路。任何在CCM下的采用PWM的DC-DC變換器都可以采用這種規范形式。這就允許我們能夠從物理的視角理解，並比較變換器的交流特性。為了能夠以通用方式分析變換器的特性而無需參考特定的變換器，后面的幾章中我們將使用規范模型。因此，規范模型使我們能夠定義和討論變換器的物理交流特性。

在本節中，將基於物理參數建立規范電路模型。將給出一個說明如何將變換器等效電路轉換為規范形式的實例。最后，還將幾種基本的理想變換器的規范模型參數制成了表格。

7.4.1 規范電路模型的建立

規范電路模型的物理構成在圖7.33中全部給出。變換器具有功率輸入端口\(v_{g}(t)\)，控制輸入端口\(d(t)\)以及具有相同電壓\(v(t)\)的功率輸出端口和負載。正如第3章所述，所有的CCM下的PWM DC-DC變換器的基本功能都是對直流電壓和電流等級的變換，並且在理想情況下其效率為100%。如圖7.33a所示，我們使用理想的直流變壓器對這個特性進行建模，該變壓器的有效匝比為\(1:M(D)\)，其中\(M\)為變換比，並且其是關於\(D\)的函數。同時，如果需要，可以通過添加電阻或者對其他變換器損耗建模的元件來完善這個模型。

Fig. 7.33 Development of the canonical circuit model, based on physical arguments:(a) dc transformer model, (b) inclusion of ac variations, (c) reactive elements introduce effective low-pass filter, (d) inclusion of ac duty-cycle variations

功率輸入電壓\(v_{g}(t)\)的緩慢變化會導致變換器輸出電壓\(v(t)\)的交流變化。如圖7.33b所示，我們期望這些變化也可以通過變比\(M(D)\)進行轉換。

變換器還必須包括無功元件，來過濾開關諧波和在功率輸入輸出端口間傳遞能量。由於希望輸出的開關紋波較小，無功元件必須能夠形成一個具有截止頻率小於開關頻率的低通濾波器。這種低通特性還影響着輸入電壓（譯者：原文中為Line voltage，這里認為是直流輸入電壓）變化對輸出電壓的關系。因此，模型中還應該包含一個如圖7.33c所示的有效的低通濾波器。這個圖片預測了輸入輸出(譯者：原文為Line-to-output)的傳遞函數為：

\[G_{vg}(s)=\frac{\hat{v}(s)}{\hat{v}_{g}(s)}=M(D)H_{e}(s) \tag{7.86} \]

其中\(H_{e}(s)\)為負載電阻為\(R\)時的低通濾波器的傳遞函數。當負載為非線性時，\(R\)就是靜態工作點得到的增量負載電阻(incremental)。濾波器同時還會影響變換器的其他屬性，比如小信號輸入和輸出阻抗。值得注意的是，低通濾波器中的元件值不一定與變換器中的物理元件值相等。通常，濾波器中的元件值，傳遞函數以及端口阻抗會隨靜態工作點變化而變化。在下面的章節中給出了示例。

控制輸入的變化，特別是占空比\(\hat{d}(t)\)的變化，也會引起變換器電壓和電流的交流變化。因此，模型中應該包含由\(\hat{d}(t)\)驅動的電壓和電流源。在前節的示例中，我們已經看到了電壓源和電流源都出現了，他們分布在電路模型中。可以通過對模型進行處理，從而將所有含\(\hat{d}(t)\)的源整理到等效電路的輸入側。在這個過程中，這些源可能與頻率有關；在下一節中將給出一個示例。通常情況下，這些電源可以被組合為如圖7.33d所示的單電壓源\(e(s)\hat{d}(s)\)和單電流源\(j(s)\hat{d}(s)\)。由這個模型得到的控制到輸出的小信號傳遞函數為：

\[G_{vd}(s)=\frac{\hat{v}(s)}{\hat{d}(s)}=e(s)M(D)H_{e}(s) \tag{7.87} \]

上述式子是在將\(\hat{v}_{g}(s)\)設置為0，求解\(\hat{v}(s)\)與\(\hat{d}(s)\)的關系得到的。圖7.33d是一個可以對任何CCM下的PWM DC-DC變換器進行建模的完整的規范電路。

通常，我們對負載電流\(\hat{i}_{load}\)變化引起的輸出電壓\(\hat{v}\)的變化也比較感興趣。如圖7.34所示，我們可以通過在變換器的輸出端添加一個獨立電流源來對此進行建模。在圖中，負載被建模為並聯於獨立交流電流源\(\hat{i}_{load}\)的電阻\(R\)。在交流模型中，電阻\(R\)是在靜態工作點測得的負載的增量電阻（譯者：應該是\(i-v\)曲線的斜率），且\(\hat{i}_{load}\)是負載電流的交流變化量。這個模型得到了從負載電流變化量到輸出電壓變化量的傳遞函數為：

\[Z_{out}(s)=-\frac{\hat{v}(s)}{\hat{i}_{load}(s)}=Z_{eo}(s)||R \tag{7.88} \]

為了推導式(7.88)，我們將獨立源\(\hat{v}_{g}\)和\(\hat{d}\)置0，求解\(\hat{i}_{load}\)到\(\hat{v}\)的傳遞函數。這個傳遞函數（含負號）就是變換器的輸出阻抗\(Z_{out}(s)\)。正如上面的定義，輸出阻抗包括負載電阻\(R\)的增量。在某些情況下，將輸出阻抗\(Z_{out}\)的定義中將負載阻抗去除或者包含其他阻抗可能更為合適。

因此，規范模型可用於求解變換器關鍵交流傳遞函數。同時令人感興趣有控制-輸出傳遞函數\(G_{vd}(s)\)，源-輸出傳遞函數\(G_{vg}(s)\)，以及輸出阻抗\(Z_{out}(s)\)。

Fig. 7.34 Modeling the effect of load current variations by addition of independent current source \(\hat{i}_{load}\)

7.4.2 示例：buck-boost變換器模型到規范模型的演化

為了說明規范電路模型的推導步驟，讓我們將buck-boost變換器的等效電路演化為規范模型。buck-boost變換器的交流小信號模型在7.2節中已經推導。其結果為圖7.16b，這里再次給出，如圖7.35所示。為了將這個電路演化為規范形式，有必要將所有關於\(\hat{d}(t)\)的獨立源向左移動，同時將電感向右移動從而合並變壓器。

Fig. 7.35 Small-signal ac model of the buck–boost converter, before manipulation into canonical form

電壓源\((V_{g}-V)\hat{d}(t)\)與電感串聯，因此，這兩個元件的位置可以交換。在圖7.36a中，電壓源被放置在了理想變壓器的原邊，所以這也就需要將電壓除以有效匝比\(D\)。同樣的，輸出側電流源\(I\hat{d}(t)\)也被移動到匝比為\(D^{'}:1\)的變壓器的原邊，這就需要將其乘以匝比\(1/D^{'}\)。其極性也要根據匝比為\(D^{'}:1\)的變壓器的極性進行反轉。

下一步，我們需要將電流源\(I\hat{d}(t)/D\)移動到電感的左側。這可以使用圖7.36b所示的技巧來實現。電流源的接地點斷開，取而代之的是連接到節點\(A\)。另外一個相同的電流源從節點\(A\)連接到地。第二個電流源使流過節點\(A\)的電流並未發生改變，因此圖7.36a和7.36b的節點方程是相同的。

Fig. 7.36 Steps in the manipulation of the buck–boost ac model into canonical form

在圖7.36c中，電感和電流源的並聯組合被變換為戴維南等效形式。從而獲得了電感和電壓源的串聯組合。

在圖7.36d中，電流源\(I\hat{d}(t)/D\)被移到變比為\(1:D\)的變壓器的原邊。電流源幅值需要乘以變比\(D\)。此外，還可以利用之前的方法，將電流源經電壓源\((V_{g}-V)\hat{d}(t)/D\)移動到左側。電流源的接地點移動到節點\(B\)，並且再添加一個相同的電流源連接到節點\(B\)和地之間。

圖7.37就是模型的最終形式。通過乘以匝比的平方，電感被移動到匝比為\(D^{'}:1\)的變壓器的次級。通過除以匝比\(D\)，電壓源\(sLI\hat{d}(t)/D^{'}\)被移動到匝比為\(1:D\)的變壓器的初級側。如圖所示，電壓源和電流源可以被組合，將兩個變壓器組合為一個變比為\(D^{'}:D\)的變壓器。電路現在就是規范形式了。

Fig. 7.37 The buck–boost converter model, in canonical form

可以看出，低通濾波器的電感值並不簡單的等於物理電感值\(L\)，而是等於\(L/D^{'2}\)。在不同的\(D^{'}\)的不同靜態工作點時，這個電感值將會發生變化。因此，低通濾波器的傳遞函數，輸入阻抗和輸出阻抗也會隨着靜態工作點的變化而變化。這種變化的原因就是匝比為\(D^{'}:1\)的變壓器對電感值的變化。

同時還可以從圖7.37看出，由\(\hat{d}(t)\)引起的電壓源的系數為：

\[e(s)=\frac{V_{g}-V}{D}-s \frac{LI}{DD^{'}} \tag{7.89} \]

通過將式(7.30)的直流關系代入后，上式可以簡化為：

\[e(s)=- \frac{V}{D^{2}} (1-s \frac{DL}{D^{'2}R}) \tag{7.90} \]

當我們將輸出側電流源\(I\hat{d}(t)\)經過電感移動時，我們獲得了一個與頻率相關的電壓源。因此,\(e(s)\hat{d}\)電壓源是頻率相關的。

7.4.3 常見變換器的規范電路參數值

對於包含單電感和單電容的理想CCM下PWM DC-DC變換器，其低通濾波器的規范模型應該包含單個電感和單個電容。將規范電路模型可簡化為圖7.38所示。假設電容直接連接在負載上。對於基本的buck，boost以及buck-boost變換器的參數如表7.1所示。同時再次說明，電感有效值並不等同於物理電感值，其與靜態工作點占空比\(D\)是相關的。此外，流過有效電感\(L_{e}\)的電流通常與物理電感器中流過的電流\(I+\hat{i}(t)\)並不相同。

Table 7.1 Canonical model parameters for the ideal buck, boost and buck–boost converters

可以使用傳統的線性電路的分析方法來求解圖7.38的模型，從而獲得感興趣的關系，如傳遞函數，輸入輸出阻抗等。變壓器隔離版本的buck，boost以及buck-boost（如全橋，正激和反激變換器）也可以使用圖7.38和表7.1的模型和參數進行建模，只是這要在正確考慮變壓器匝比的前提下完成。