[Fundamental of Power Electronics]-PART II-9. 控制器設計-9.4 穩定性

9.4 穩定性

眾所周知的是，增加反饋回路可能會導致原本穩定的系統變得不穩定。盡管原變換器傳遞函數(式(9.1))以及環路增益\(T(s)\)不包含右半平面極點，但式(9.4)的閉環傳遞函數仍然可能存在右半平面極點。那么之后，反饋回路將無法調節到所需的靜態工作點，並且可能會觀察到振盪出現。避免這種情況是非常重要的。即便反饋系統是穩定的，其瞬態響應也可能會出現不希望的振鈴和過沖。本節討論了系統穩定性的問題，並介紹了一種確保反饋系統穩定且特性較好的方法。

當反饋使得系統不穩定時，式(9.4)的分母項\((1+T(s))\)包含右半平面的根(也就是具有正實部)。如果\(T(s)\)是有理分數，也就是多項式函數\(N(s)\)和\(D(s)\)的比值\(N(s)/D(s)\)。那么我們可以寫出：

\[\begin{aligned} & \cfrac{T(s)}{1+T(s)}=\cfrac{\cfrac{N(s)}{D(s)}}{1+\cfrac{N(s)}{D(s)}}=\cfrac{N(s)}{N(s)+D(s)} \\ & \cfrac{1}{1+T(s)}=\cfrac{1}{1+\cfrac{N(s)}{D(s)}}=\cfrac{D(s)}{N(s)+D(s)} \end{aligned} \tag{9.20} \]

因此，\(T(s)/(1+T(s))\)和\(1/(1+T(s))\)具有相同的極點，也就是多項式\(N(s)+D(s)\)的根。穩定性的暴力測試就是分析\(N(s)+D(s)\)，對結果進行因式分解，來確定是否有正實數的根。然而，除了一些非常簡單的環路增益以外，這將帶來大量的工作。奈奎斯特穩定性定理給出了一種更具有啟發性的方法，其中\(N(s)+D(s)\)的右半平面的根的數目可以通過對\(T(s)\)的測試來確定。這個定理將在9.4.2節中進行討論。通常，這個定理的一個特例也就是相位裕度的分析就足以設計大多數穩壓器。接下來讓我們首先討論更為簡單的相位裕度問題。

9.4.1 相位裕度測試

穿越頻率\(f_{c}\)被定義為環路增益幅值為1時的頻率：

\[||T(j2\pi f_{c})||=1 \Rightarrow 0\ dB \tag{9.21} \]

為了計算相位裕度\(\varphi_{m}\)，在穿越頻率處求解環路增益\(T\)的相位，並將其加上180°：

\[\varphi_{m}=180°+\angle{T}(j2\pi f_{c}) \tag{9.22} \]

如果恰好只有一個穿越頻率，並且環路增益\(T(s)\)不包含右半平面極點，並且式(9.22)的值為正的，那么\(1/(1+T)\)和\(T/(1+T)\)都是不包含右半平面極點的。因此，對\(T(s)\)進行一個簡單的測試，就可以確定\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)的穩定性。這是一個非常易用的設計工具，我們只需要保證在穿越頻率下\(T\)的相位大於-180°即可。

當存在多個穿越頻率時，相位裕度的測試可能會出現不必要歧義。並且，當\(T\)包含右半平面極點時(也就是原始開環系統不穩定)，就不能使用相位裕度來測試了。無論什么情況，都要使用更通用的奈奎斯特穩定定理來分析。

一個典型穩定系統的環路增益如圖9.9所示。可以看到\(\angle T(j2\pi f_{c})=-112°\)。因此，\(\varphi_{m}=180°-112°=+68°\)。由於相位裕度為正，\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)沒有右半平面極點，並且反饋系統是穩定的。

Fig. 9.9 Magnitude and phase of the loop gain of a stable system. The phase margin \(\varphi_{m}\) is positive

如圖9.10所示為一個不穩定系統的環路增益。這個例子中，\(\angle T(j2\pi f_{c})=-230°\)。相位裕度為\(\varphi_{m}=180°-230°=-50°\)。負的相位裕度意味着\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)各自包含至少一個右半平面極點。

Fig. 9.10 Magnitude and phase of the loop gain of an unstable system. The phase margin \(\varphi_{m}\) is negative

9.4.2 奈奎斯特穩定判據

奈奎斯特穩定判據是一種嚴格的通用技術，其可以根據閉環系統的環路增益來評估其穩定性。基於環路增益\(T(s)\)的圖，可以從其bode圖中確定位於閉環傳遞函數\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)在右半平面的極點數。9.4.1節中的相位裕度測試是基於奈奎斯特圖的，它是有用的，但又不是完全通用的方法。在某些情況下，包括本書后面將會遇到的幾個示例，必須采用更為一般的奈奎斯特穩定測試方法。

奈奎斯特穩定判據是基於曲線\(\Gamma\)的保形映射，這個曲線\(\Gamma\)包圍了復平面的右半平面(正實數部分)。閉合曲線是通過環路增益傳遞函數\(T(s)\)映射而來的。通過映射后的曲線對\((-1,0)\)點的包圍情況可以計算閉環傳遞函數中存在的右半平面極點的數量。在下面的小節中提供了衍生的工具，准確的應用規則以及一些重要的實例。

理論分析原理

讓我們來考慮一個零點在\(s=s_{1}\)的傳遞函數\(T(s)\)：

\[T(s)=(s-s_{1}) \tag{9.23} \]

讓我們再來考慮如圖9.11a所示的圍繞點\(s_{1}\)的\(s\)復平面上的閉合曲線\(\Gamma\)。復變量\(s\)隨路徑\(\Gamma\)變化，從點a開始，圍繞曲線沿順時針方向經過點b，c最后回到a。對於式(9.23)中的例子\(T(s)\)，\(T(s)\)在某點\(s\)處的值被看做是從\(s_{1}\)指向\(s\)的向量，其幅值和相位如圖9.11a所示。

Fig. 9.11 Principle of the argument, example 1: (a) a closed contour Γ in the complex s plane, (b)
mapping of the contour Γ through the transfer function T(s) o f Eq.(9.23), (c) variation of the phase of T(s), as s varies around the contour Γ

如圖9.11c所示，\(s=a\)時相角\(\angle T\)為0°。當\(s\)沿着曲線移動時，經過b，c，最后回到a，相角\(\angle T\)減小，並且經過移動一周后，相位變為-360°。這里，凈相位變化為-360°，表明\(s_{1}\)處的零點位於曲線\(\Gamma\)內。

圖9.11b包含了\(T(s)\)沿\(\Gamma\)曲線隨\(s\)變化的圖形；幅值\(||T||\)和相角\(\angle T\)的量與圖9.11a中標識的相同。這個圖形就是通過傳遞函數\(T(s)\)的保形映射；保形映射保留相角信息。正如\(\angle T(s)\)的-360°的凈變化，映射曲線\(T(\Gamma)\)包圍了\(T(s)\)平面的原點。

圖9.12a描繪了不包圍\(T(s)\)在\(s_{1}\)處零點的第二條曲線\(\Gamma^{'}\)。如圖9.12c所示，經過對曲線\(\Gamma^{'}\)的一周完全移動后，\(\angle T\)的凈變化量為0。映射后曲線\(T(\Gamma^{'})\)如圖9.12b所示，這個曲線不包含\(T(s)\)平面的原點。

Fig. 9.12 Principle of the argument, example 2: (a) a closed contour \(\Gamma^{’}\) in the complex s plane, (b)
mapping of the contour \(\Gamma^{’}\) through the transfer function T(s) o f Eq.(9.23), (c) variation of the phase of T(s), as s varies around the contour \(\Gamma^{’}\). Since the zero at \(s = s_1\) does not lie inside contour \(\Gamma^{’}\), there is no net change in the phase of T, and the mapped contour \(T(\Gamma^{’})\) does not encircle the origin of the T plane

復變函數的相角通常稱為幅角。Cauchy幅角原理告訴我們，當閉合曲線包圍零點\(s_{1}\)時，隨着\(s\)沿着\(\Gamma\)順時針走一圈，\(\ang T(s)\)的凈變化量為-360°。這與映射曲線\(T(\Gamma)\)包含原點是等效的。(譯者：此處具體參考幅角原理)

接下來讓我們考慮包含多個極點和零點的傳遞函數\(T(s)\)：

\[T(s)=T_{ref} \cfrac{(s-z_{1})(s-z_{2})...}{(s-p_{1})(s-p_{2})...} \tag{9.24} \]

像往常一樣，我們可以將\(T(s)\)的相位表示為每個零點或極點產生的各項的相角之和。如下所示：

\[\begin{aligned} & \ang T(s)=\ang(s-z_{1})+\ang(s-z_{2})+... \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ang(s-p_{1})+\ang(s-p_{2})+... \end{aligned} \tag{9.25} \]

我們可以再次在\(s\)復平面上定義一個閉合曲線\(\Gamma\)，並且分析\(T(s)\)的相位在\(s\)沿順時針方向經過曲線一周的變化情況。每一個位於曲線內的\(T(s)\)的零點將會導致\(\ang T\)的凈變化為-360°，並且每一個位於曲線內的\(T(s)\)的極點導致的\(\ang T\)的凈變化為+360°。如果總計有\(Z\)個零點和\(P\)個極點位於曲線\(\Gamma\)內，那么\(\ang T\)的凈變化為\(-N*360°\)，其中：

\[N=Z-P \tag{9.26} \]

映射曲線\(T(\Gamma)\)將順時針包圍\(T(s)\)平面的原點\(N\)圈。

那么幅角原理就為我們提供了一種可以確定曲線\(\Gamma\)內零極點數量的工具。

Nyquist 曲線

我們期望確定式(9.20)所示的閉環傳遞函數是否存在位於右半復平面的不穩定極點。為此，我們可以定義一個包圍整個右半平面的曲線\(\Gamma\)，然后利用幅角原理來確定這個曲線包含的閉環極點的數目。

Fig. 9.13 The Nyquist contour, which encloses the right half of the complex s plane

圖9.13所示的曲線\(\Gamma\)被稱為Nyquist曲線。沿順時針方向遍歷這個曲線，曲線右側的封面封閉區域就是\(s\)平面的右半部分。Nyquist曲線包含三個部分。線段\(\Gamma_{A}\)是虛軸的正半部分，其中：

\[s=j\omega\ with\ \ \omega \in(0,\infty) \tag{9.27} \]

可以將\(\Gamma_{B}\)選擇為位於所有閉環極點右側的半圓弧，其定義如下：

\[s=Re^{j\theta} \ with\ R \rightarrow \infty\ \ and\ \ \theta \in(+90°,-90°) \tag{9.28} \]

\(\Gamma_{C}\)是虛軸的負半部分，其中：

\[s=-j\omega\ with\ \ \omega \in(\infty,0) \tag{9.29} \]

如果傳遞函數\(F(s)\)在復平面右半平面上包含\(Z\)個零點和\(P\)個極點，那么Nyquist的映射曲線\(F(\Gamma)\)將包圍\(F(s)\)平面的原點\(N=(Z-P)\)次。

穩定性分析

如式(9.20)的閉環傳遞函數包含分母多項式為\(N(s)+D(s)\)，其根為閉環傳遞函數的極點。我們希望確定這個多項式是不是包含\(s\)復平面的右半平面的根。從式(9.20)又可以看出，這些根就是\((1+T(s))\)的零點，此外，\((1+T(s))\)的極點與\(T(s)\)的極點是一致的。因此，我們還可以通過傳遞函數\((1+T(s))\)來映射圖9.13所示的Nyquist曲線，並且來評估包圍原點的圈數。

在復平面內，\((1+T(s))\)就相當於\(T(s)\)向右平移了一個單位。如果映射的曲線\((1+T(\Gamma))\)包圍原點，那么曲線\(T(\Gamma)\)就包圍\((-1,0)\)點。因此，我們可以利用環路增益\(T(s)\)來映射圖9.13所示的Nyquist曲線，並且來計算\(T(\Gamma)\)包圍\((-1,0)\)的圈數來計算\(N\)。根據\(N=Z-P\)，環繞圈數\(N\)與右半平面極點數有關，其中\(Z\)是閉環增益\(T/(1+T)\)或者\(1/(1+T)\)的右半平面極點數；\(P\)是原環路增益\(T(s)\)中存在的右半平面極點數。

如果原始開環系統是穩定的，那么\(T(s)\)不包含右半平面極點，也就是\(P=0\)。在這種常見的\(N=Z\)情況下，\((-1,0)\)點被\(T(\Gamma)\)曲線包圍的圈數就等於\(T/(1+T)\)或\(1/(1+T)\)的閉環右半平面極點數。

一個基礎示例

作為第一個例子，讓我們來考慮含有三個極點的環路增益\(T(s)\)：

\[T(s)=\cfrac{T_{0}}{(1+\cfrac{s}{\omega_{1}})(1+\cfrac{s}{\omega_{2}})(1+\cfrac{s}{\omega_{3}})} \tag{9.30} \]

圖9.14給出了一組特定\(T_{0},\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}\)的值情況下，\(T(s)\)的幅值和相角的bode圖。在這個例子中，\(T(s)\)在穿越頻率\(\omega_{c}\)處的相角裕度為\(\varphi_{m}\)。

Fig. 9.14 Bode plot of loop gain T(s) for the example of Eq. (9.30)

圖9.15a描繪了Nyquist圖的第一部分，其為式(9.27)定義的\(\Gamma_{A}\)經環路增益映射后的結果。因為沿着\(\Gamma_{A}\)且\(s=j\omega\)，這就對應了\(T(j\omega)\)的極坐標圖，其與圖9.14給出bode圖中的幅值和相位數據是保持一致的。在\(\omega=0\)時，環路增益的幅值為\(T_{0}\)並且相角為0°，因此Nyquist圖開始於正實軸上的\(T=T_{0}\)。隨着\(\omega\)的增加，如圖所示，其幅值減小，相位變為負值。

Fig. 9.15 Nyquist plot for the loop gain of Fig.9.14: (a) mapping of the contour \(Γ_A\) through the loop gain T(s), (b) mapping of the complete Nyquist contour through the loop gain T(s)

在穿越頻率頻率\(f_{c}\)處，環路增益的幅值為1，相角為\((-180°+\varphi_{m})\)。如圖9.15a所示，曲線\(T(j\omega)\)在這一點穿越單位圓。在高於\(f_{c}\)的頻率，幅值繼續減小，曲線\(T(j\omega)\)趨向於原點。

Nyquist曲線的第二部分為式(9.28)定義的\(\Gamma_{B}\)。為了分析環路增益\(T(s)\)如何映射曲線\(\Gamma_{B}\)，我們首先將\(s=Re^{j\theta}\)代入式(9.30):

\[T(Re^{j\theta})=\cfrac{T_{0}}{(1+\cfrac{Re^{j\theta}}{\omega_{1}})(1+\cfrac{Re^{j\theta}}{\omega_{2}})(1+\cfrac{Re^{j\theta}}{\omega_{3}})} \tag{9.31} \]

接下來，讓我們令\(R \rightarrow\ \infty\)。這使得式(9.31)的分母在幅值上趨向於無窮，這就使得了\(T\)的幅值趨向於0。Nyquist圖的這部分趨向於原點。Nyquist圖的第三部分就是通過環路增益\(T(s)\)對式(9.29)定義的\(\Gamma_{C}\)的映射。Nyquist曲線中的這一部分就是\(T(-j\omega)\)的極坐標圖，它是\(T(j\omega)\)的復共軛。因此，如圖9.15b所示，通過將\(T(j\omega)\)沿實軸對稱就可以很容易得到這個圖形。

現在我們可以來確定(-1,0)點被\(T(\Gamma)\)包圍的圈數。對圖9.15b的觀察發現，(-1,0)點並沒有被包圍於曲線\(T(\Gamma)\)的內部，因此，包圍圈數為0：\(N=0\)。由於原環路增益\(T(s)\)不包含右半平面極點，因此\(P=0\)。根據式(9.26)，\(Z=0\)，所以閉環傳遞函數不包含右半平面極點，反饋環路是穩定的。

如果圖9.14中的相角裕度\(\varphi_{m}\)是負值，那么曲線\(T(\Gamma)\)將會如圖9.16所示。\(T(j\omega)\)將在第三象限中穿越單位圓。在這種情況下，圖9.16b的Nyquist曲線包圍(-1,0)點兩次：\(N=2\)。因此\(Z=2\)，閉環傳遞函數有兩個右半平面極點。反饋環路是不穩定的。在這個例子中，原\(T(s)\)包含三個左半平面極點；在閉環傳遞函數\(T/(1+T)\)中，其中兩個極點移動到了右半平面，一個極點留在了左半平面。

Fig. 9.16 Nyquist plot for an unstable system: (a) mapping of the contour \(Γ_A\) through the loop gain T(s), with negative phase margin \(\varphi_{m}\), (b) mapping of the complete Nyquist contour through the loop gain T(s)

示例2：三個穿越頻率

作為第二個示例，讓我們考慮在\(f=f_{1}\)處含有一個低頻實極點，並且在超過第一個穿越頻率的\(f=f_{2}\)處有高頻諧振極點，那么其傳遞函數為：

\[T(s)=\cfrac{T_{0}}{(1+\cfrac{s}{\omega_{1}})(1+\cfrac{s}{Q\omega_{2}}+(\cfrac{s}{\omega_{2}})^2)} \tag{9.32} \]

在這種情況下的環路增益bode圖如圖9.17所示。在\(f_{2}\)處的諧振極點使得\(T\)的幅值在\(f_{2}\)處增加到0dB以上。因此，這里就有三個穿越頻率(分別稱為1,2,3)。這時的相位裕度可以說與每個穿越頻率都有關系；對於圖9.17所示的曲線，在穿越頻率1和2的相位裕度是正的，而穿越頻率3處的相位裕度是負的。因此，簡單的相位裕度判斷穩定性的方法這里又會造成歧義，這里有必要畫出Nyquist曲線來判斷這個環路增益是否使得系統是穩定的。

Fig. 9.17 Bode plot of loop gain T(s) for the example of Eq. (9.32). The loop gain exhibits three crossover frequencies

圖9.18包含了與圖9.17所示bode圖對應的Nyquist圖。圖9.18a包含了映射曲線\(T(\Gamma_{A})=T(j\omega)\)，並標識了穿越點1,2,3。圖9.18b給出了整個Nyquist曲線的映射。可以從中看出，(-1,0)點被包圍了兩次。因此，閉環傳遞函數在復平面的右半部分包含兩個極點，並且該反饋系統是不穩定的。

Fig. 9.18 Nyquist plot for the example having three crossover frequencies (Fig.9.17): (a) mapping of
the contour \(Γ_A\) through the loop gain T(s), (b) mapping of the complete Nyquist contour through the loop gain T(s)

示例3：反饋回路中的積分器

如果Nyquist曲線\(\Gamma\)通過環路增益的一個或多個奇點，那么保形映射的特性將不復存在，並且以上論點都不能適用了。當環路增益包含一個或多個位於虛軸上的極點時，就會發生這種情況。一個常見的例子是在補償器中使用積分器(見9.5.2節)，導致原點存在一個極點。環路增益中包含原點為極點的一個例子為：

\[T(s)=\cfrac{1}{(\cfrac{s}{\omega_{0}})(1+\cfrac{s}{\omega_{1}})(1+\cfrac{s}{\omega_{2}})} \tag{9.33} \]

在這個例子中，轉折頻率\(\omega_{0},\omega_{1},\omega_{2}\)都是正實數。這種特殊情況，可以通過重新定義圖9.13所示的Nyquist曲線，其具體方式如圖9.19所示。添加了第4段曲線\(\Gamma_{D}\)，來繞過奇異點連接曲線。\(\Gamma_{D}\)的定義為半圓弧，如下所示：

\[s=\varepsilon e^{j\theta} \ \ with\ \ \varepsilon \rightarrow 0\ \ and\ \ \theta \in(-90°,90°) \tag{9.34} \]

式(9.33)的環路增益\(T(s)\)不包含位於如圖9.19中修正后Nyquist曲線內部的極點。因此，閉環傳遞函數\(T/(1+T)\)的右半平面極點數等於映射的修改后Nyquist曲線\(T(\Gamma)\)對(-1,0)點的包圍圈數。

Fig. 9.19 Modification of the Nyquist contour to handle the special case in which the loop gain includes a pole at the origin. Segment \(Γ_D\) defined by Eq.(9.34) routes the Nyquist contour around the pole at s = 0. The locations of poles of Eq. (9.33) are marked ×

在給定的\(\omega_{0},\omega_{1},\omega_{2}\)的特定情況下，圖9.20給出了\(T(s)\)的幅值和相角的bode圖。在這個例子中，\(T(s)\)展示了一個穿越頻率，其中標識了相位裕度\(\varphi_{m}\)。

Fig. 9.20 Bode plot of loop gain T(s) for the example of Eq. (9.33)

圖9.21a給出了Nyquist圖的第一部分，其為\(\Gamma_{A}\)經環路增益\(T(s)\)映射得到。沿着這段，\(s=j\omega\)其中的\(\omega\)變化從\(\varepsilon(\rightarrow 0)\)到\(\infty\)。

\(\Gamma_{B}\)仍然由式(9.28)定義，這段仍然映射到原點。\(\Gamma_{C}\)是\(\Gamma_{A}\)的復共軛。曲線\(\Gamma_{A},\Gamma_{B},\Gamma_{C}\)通過環路增益\(T(s)\)的映射如圖9.21b所示。可以看到這個曲線是不封閉的，\(\Gamma_{D}\)必須結合到這里。

Fig. 9.21 Nyquist plot for the example of an integrator in the feedback loop (Fig.9.20): (a) mapping of the contour \(Γ_A\) through the loop gain T(s), (b) mapping of the contours \(Γ_A\), \(Γ_B\), and \(Γ_C\) through the loop gain T(s), (c) mapping of complete modified Nyquist contour

將(9.34)定義的映射代入式(9.33)的環路增益可以得到：

\[T(\varepsilon e^{j\theta})=\cfrac{1}{(\cfrac{\varepsilon e^{j\theta}}{\omega_{0}})(1+\cfrac{\varepsilon e^{j\theta}}{\omega_{1}})(1+\cfrac{\varepsilon e^{j\theta}}{\omega_{2}})} \tag{9.35} \]

當\(\varepsilon e^{j\theta} \rightarrow 0\)，與轉折頻率\(\omega_{1}\)和\(\omega_{2}\)對應的極點項趨向於1。式(9.35)簡化為：

\[T(\varepsilon e^{j\theta})=\cfrac{\omega_{0}e^{-j\theta}}{\varepsilon} \tag{9.36} \]

當\(\varepsilon e^{j\theta} \rightarrow 0\)，式(9.36)的幅值趨向於無窮。當\(\theta\)從-90°變化到90°，映射曲線的相位從+90°變化到-90°。完整的曲線如圖9.21c所示。可以看到，映射曲線是閉合的，並且沒有對(-1,0)點進行包圍，也就證明了相位裕度為正的。圖9.21c表示了一個穩定的系統。

小結：Nyquist穩定判據

因此，Nyquist穩定判據與環路增益的bode圖密切相關。\(\Gamma_{A}\)段對應的是令\(s=j\omega\)，並且\(\Gamma_{A}\)通過環路增益\(T(s)\)的映射構成了\(T(j\omega)\)的極坐標圖。閉環傳遞函數\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)的右半平面極點數量可以通過對Nyquist曲線通過環路增益\(T(s)\)的映射后對(-1,0)包圍的圈數來嚴格的確定。這也解釋了相位裕度測試的來源，並且為更復雜的情況提供了穩定性分析方法(具有多個穿越頻率的環路增益)。

9.4.3 相角裕度與閉環阻尼因子之間關系

我們需要多少相位裕量？最壞情況下相位裕度為1是否能夠滿足？當然，好的設計應具有足夠的設計裕度，但是還有另一個重要原因需要額外的相位裕度。較小的相位裕度(在T中)使得閉環傳遞函數\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)在穿越頻率附近表現出具有高\(Q\)值的諧振極點。系統的瞬態響應就表現出過沖和振鈴。隨着相角裕度的減小，這些特征將進一步惡化(高Q值，更長的振鈴)，直到\(\varphi_{m}<0\)，系統變得不穩定。

讓我們來考慮一個環路增益\(T(s)\)，它在穿越頻率附近可以被以下函數很好的近似：

\[T(s)=\cfrac{1}{(\cfrac{s}{\omega_{0}})(1+\cfrac{s}{\omega_{2}})} \tag{9.37} \]

其幅值和相位漸近線如圖9.22所示。對於那些在\(||T||\)中以-20dB每十倍頻程接近單位增益，並且在\(f_{2}=\omega_{2}/2\pi\)處有一個額外極點的常見環路增益，在穿越頻率處這個函數可以很好的近似。假定任何額外的零點和極點都足夠高於或低於穿越頻率，因此它們對穿越頻率附近的系統傳遞函數的影響可忽略不計。

Fig. 9.22 Magnitude and phase asymptotes for the loop gain T of Eq. (9.37)

注意到，隨着\(f_{2} \rightarrow \infty\)，相角裕度\(\varphi_{m}\)接近90°。隨着\(f_{2} \rightarrow 0\)，\(\varphi_{m} \rightarrow 0°\)。因此，隨着\(f_{2}\)的減小，相角裕度也減小了。讓我們來研究這是如何通過\(T/(1+T)\)來影響閉環響應的。我們可以利用式(9.37)寫出：

\[\cfrac{T(s)}{1+T(s)}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{T(s)}}=\cfrac{1}{1+\cfrac{s}{\omega_{0}}+\cfrac{s^2}{\omega_{0}\omega_{2}}} \tag{9.38} \]

通過將其寫為標准的一元二次形式，可以得到：

\[\cfrac{T(s)}{1+T(s)}=\cfrac{1}{1+\cfrac{s}{Q\omega_{c}}+(\cfrac{s}{\omega_{c}})^2} \tag{9.39} \]

其中：

\[\begin{aligned} & \omega_{c}=\sqrt{\omega_{0}\omega_{2}}=2\pi f_{c} \\ & Q=\cfrac{\omega_{0}}{\omega_{c}}=\sqrt{\cfrac{\omega_{0}}{\omega_{2}}} \end{aligned} \]

因此，閉環響應在\(f_{c}\)處包含二次極點，也就是\(f_{0}\)和\(f_{2}\)的幾何平均值點。當\(f< < f_{2}\)時，這些極點具有低\(Q\)值系數。在這種情況下，我們可以使用低\(Q\)逼近來估計其頻率：

\[\begin{aligned} & Q\omega_{0}=\omega_{0} \\ & \cfrac{\omega_{c}}{Q}=\omega_{2} \end{aligned} \tag{9.40} \]

這種情況下的幅值漸近線如圖9.23所示。可以看到，這些漸近線符合9.3節中通過圖形化代數方法構建\(T/(1+T)\)的規則。

Fig. 9.23 Construction of magnitude asymptotes of the closed-loop transfer function T/(1 + T), for the low-Q case

接下來考慮高\(Q\)值的情況。當極點頻率\(f_{2}\)減小，相角裕度也減小，由式(9.39)給出的\(Q\)系數增加。對於\(Q>0.5\)，諧振極點為\(f_{c}\)。圖9.24給出了\(f_{2}< f_{0}\)情況下的幅值bode圖。頻率\(f_{c}\)仍然為\(f_{2}\)和\(f_{0}\)的幾何平均值，並且\(f_{c}\)現在與\(||T||\)漸近線的穿越頻率一致。閉環增益\(T/(1+T)\)在頻率\(f_{c}\)處的實際值等於\(Q=f_{0}/f_{c}\)。如圖9.24所示，這與頻率\(f_{c}\)處的低頻-20dB每十倍頻程的漸近線\(f_{0}/f\)所得的值是相同的。可以看到，隨着極點頻率\(f_{2}\)的減小，\(Q\)系數變得很大。

Fig. 9.24 Construction of magnitude asymptotes of the closed-loop transfer function T/(1 + T), for the high-Q case

圖9.24的漸近線也遵循9.3節中的圖形代數規則，單數通過曲線圖上的代數方法無法預測精確曲線和漸近線之間的偏差。

這些具有\(Q\)系數的兩個極點同時存在於\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)之中。我們需要找到一種簡單的方法來確定\(Q\)系數。我們可以通過找到\(T\)的實際大小剛好等於1的頻率來獲得這樣的關系。然后，我們可以通過評估該頻率下的\(T\)的確切相位，並計算相角裕度。這個相位裕度是比值\(f_{0}/f_{2}\)或\(Q^{2}\)的函數。然后，我們求解出\(Q\)關於相角裕度的函數。其結果為：

\[\begin{aligned} & Q=\cfrac{\sqrt{cos \varphi_{m}}}{sin \varphi_{m}} \\ & \varphi_{m}=tan^{-1} \sqrt{\cfrac{1+\sqrt{1+4Q^4}}{2Q^4}} \end{aligned} \tag{9.41} \]

這個函數在圖9.25中繪制，其中\(Q\)以dB表示。可以看出，要獲得實極點\(Q< 0.5\)需要至少76°的相角裕度。為了獲得\(Q=1\)，需要52°的相角裕度。相位裕度為1°時的系統表現出閉環響應的\(Q\)值非常高！在相位裕度很小的情況下，在穿越頻率附近\(T(j\omega)\)非常接近1。其分母\((1+T)\)會變得非常小，使得閉環傳遞函數在接近穿越頻率附近的頻率處表現出峰值響應。

Fig. 9.25 Relationship between loop-gain phase margin \(\varphi_m\) and closed-loop peaking factor Q

圖9.25就是式(9.37)定義的簡單環路增益的結果。但這個環路增益對於那些實際中遇到的其他很多環路增益也能很好的近似，這些環路增益具有這樣的特性：\(||T||\)以-20dB每十倍頻程接近單位增益，並且在\(f_{2}\)處有一個額外的極點。如果\(T(s)\)的所有其他極點和零點都遠高於或低於穿越頻率，那么它們對穿越頻率附近的系統傳遞函數的影響就可以忽略不計，並且圖9.25給出了\(\varphi_{m}\)和\(Q\)之間的很好的近似關系。

另一個常見的情況是，\(||T||\)以-40dB每十倍頻程斜率接近單位增益，並且在頻率\(f_{2}\)處有一個額外的零點。隨着\(f_{2}\)增加，相角裕度減小，\(Q\)增加。可以看到，\(\varphi_{m}\)與\(Q\)之間的關系與式(9.41)完全相同。

當環路增益\(T(s)\)包含三個或更多極點穿越頻率附近的極點，圖9.25就不能用了。閉環響應還包含接近三個或更多的極點，並且，這些極點不能完全由單個\(Q\)因子來表征。需要更多的工作才能找到確切的\(T/(1+T)\)和\(1/(1+T)\)在穿越頻率附近的特性，但是無論如何可以說，較小的相位裕度會導致峰值閉環響應。

9.4.4 瞬態響應與阻尼因子

通過對式(9.39)乘以\(1/s\)並且通過Laplace逆變換，可以求解出\(T/(1+T)\)傳遞函數的單位階躍響應。對\(Q>0.5\)的結果為：

\[\hat{v}(t)=1+\cfrac{2Qe^{-\omega_{c}t/2Q}}{\sqrt{4Q^2-1}}sin[\cfrac{\sqrt{4Q^2-1}}{2Q}\omega_{c}t+tan^{-1}(\sqrt{4Q^2-1})] \tag{9.42} \]

當\(Q<0.5\)時，結果為：

\[\hat{v}(t)=1-\cfrac{\omega_{2}}{\omega_{2}-\omega_{1}}e^{-\omega_{1}t}-\cfrac{\omega_{1}}{\omega_{1}-\omega_{2}}e^{-\omega_{2}t} \tag{9.43} \]

其中：

\[\omega_{1},\omega_{2}=\cfrac{\omega_{c}}{2Q}(1\pm \sqrt{1-4Q^2}) \tag{9.44} \]

圖9.26給出了不同\(Q\)值的該方程曲線。

Fig. 9.26 Unit-step response of the second-order system, Eqs. (9.42) and (9.43), for various values of Q

根據式(9.39)，當\(f_{2}>4f_{0}\)，\(Q\)小於0.5，閉環響應包含一個低頻和一個高頻實極點。在這種情況下，瞬態響應為(9.43)，包含時間衰減指數，形式為：

\[Ae^{(pole)t} \tag{9.45} \]

這就被稱為過阻尼的情況。當\(Q\)非常小時，低頻極點會使得階躍響應變得非常慢。

當\(f_{2}=4f_{0}\)，\(Q\)系數等於0.5。閉環響應在\(2f_{0}\)處包含兩個實極點。這被稱為臨界阻尼情況。其瞬態響應比過阻尼情況更快，因為其最低頻率極點處於較高的頻率處。這是不會表現出過沖的最快的響應。在弧度\(\omega_{c}t= \pi\)，(\(t=1/2f_{c}\))時，電壓已經達到其終值的82%。在弧度\(\omega_{c}t= 2\pi\)，(\(t=1/f_{c}\))時，電壓已經達到其終值的98.6%。

當\(f_{2}< 4f_{0}\)，\(Q\)大於0.5。閉環響應包含復數極點，瞬態響應表現為正弦型波形，並且其幅值在衰減，見式(9.42)。階躍響應的上升時間比臨界阻尼情況要快，但波形會出現過沖現象。\(v(t)\)的峰值為：

\[peak\ \hat{v}(t)=1+e^{-\pi/\sqrt{4Q^2-1}} \tag{9.46} \]

這被稱為欠阻尼。\(Q\)系數為1會導致16.3%的超調，而\(Q\)為2時會導致44.4%的超調。更大的\(Q\)系數可能導致過沖超過100%。

由於\(T\)中的附加極點和零點以及初始條件的不同，反饋回路的實際瞬態響應可能與圖9.26所示並不相同。盡管如此，圖9.26仍然說明了高\(Q\)值的極點如何導致過沖和振鈴。例如，在3.3V的計算機供電系統中，打開電源，不能使電壓過沖至5或者6V--這可能損壞計算機中的集成電路。因此，\(Q\)系數必須足夠小，通常為0.5甚至更小，對應於至少76°的相角裕度。

9.4.5 負載階躍響應與阻尼系數

通常，我們對輸出電壓對負載電流階躍變化的響應也比較感興趣。讓我們來考慮這個情況，閉環輸出阻抗可以通過以下形式的二階函數很好的近似：

\[Z_{out}(s)=\cfrac{(\cfrac{sR_{0}}{\omega_{c}})}{1+\cfrac{s}{Q\omega_{c}}+(\cfrac{s}{\omega_{c}})^2} \tag{9.47} \]

這就構成了具有特征阻抗\(R_{0}\)，諧振頻率\(f_{c}\)以及\(Q\)系數為\(Q\)的等效並聯\(R-L-C\)阻抗。同樣考慮到負載電流采用以下拉普拉斯變換的幅值為\(I_{0}\)的階躍變化：

\[\hat{i}_{load}=\cfrac{I_{0}}{s} \tag{9.48} \]

可以將其乘以式(9.47)和(9.48)，然后通過拉普拉斯逆變換來推導輸出電壓響應表達式\(\hat{v}(t)\)。對於\(Q<0.5\)，其結果為：

\[\hat{v}(t)=-\cfrac{I_{0}R_{0}Q}{\sqrt{1-4Q^2}}(e^{-\omega_{1}t}-e^{-\omega_{2}t}) \tag{9.49} \]

其中\(\omega_{1},\omega_{2}\)在式(9.44)中定義了。對於高\(Q\)值情況，\(Q>0.5\)，結果為：

\[\hat{v}(t)=-\cfrac{I_{0}R_{0}Q}{\sqrt{1-4Q^2}} e^{\omega_{c}t/2Q} sin(\cfrac{\sqrt{4Q^2-1}}{2Q} \omega_{c}t) \tag{9.50} \]

在\(I_{0}R_{0}=1\)和不同的\(Q\)值情況下的上述方程的值在圖9.27中描繪了出來。對於不等於1時的\(I_{0}R_{0}\)可以通過將曲線乘以該值即可：\(\hat{v}(t)\)的峰值之間的偏差值正比於電流階躍\(I_{0}\)乘以特征阻抗\(R_{0}\)。在\(Q<0.5\)時，峰值電壓偏差值略小於\(I_{0}R_{0}Q\)。\(Q=0.5\)時，峰值電壓偏差值近似為\(-0.368I_{0}R_{0}\)。當\(Q \rightarrow \infty\)時，峰值電壓偏差值為\(-I_{0}R_{0}\)。

Fig. 9.27 Response of the second-order system to a unit step change in load current, Eqs. (9.49)
and (9.50), for various values of Q. These curves are plotted for \(I_0R_0\)= 1