7.1 引言
變換器系統總是需要反饋的。例如，在典型的DC-DC變換器應用中，無論輸入電壓\(V_{g}(t)\)和輸出有效負載\(R\)如何變化，都必須使輸出電壓\(v(t)\)保持恆定。這是通過構建一個可以改變變換器控制輸入的回路來完成的[例如：占空比\(d(t)\)]，來使得輸出電壓\(v(t)\)被調節為期望值\(V_{ref}\)。在逆變器系統中，反饋回路使得輸出電壓遵循正弦曲線參考電壓。在現代低諧波整流系統中，控制系統使得變換器的輸入電流與輸入電壓成正比。從而使得輸入端口對於交流電源而言可等效為電阻負載。因此，通常情況下都會使用反饋。
圖7.1給出了一個典型的DC-DC系統，其結合了Buck變換器和反饋控制環路。其期望設計出這樣一個反饋，使得輸出電壓可以得到精確調節，並且對\(v_{g}(t)\)和負載電流的變化不敏感。此外，反饋系統應該是穩定的，並且瞬態過沖，建立時間和調節時間等特性應該符合相關的規范要求。本書的第二部分主題就是變換器及其控制系統的交流建模和設計。
Fig 7.1 A simple DC-DC regulator system, including a buck converter power stage and a feedback network.
為了設計圖7.1的系統，我們需要開關變換器的動態模型。電源輸入電壓，負載電流或者占空比是如何影響輸出電壓的呢？什么是小信號傳遞函數？為了回答這些問題，我們將通過引入電感和電容的動態特性來擴展在第2和第3章中得到的穩態模型。可以使用與第2和第3章中非常相似的方法對在CCM下運行的變換器進行動態建模。由此產生的交流等效電路與第3章中得到的直流等效電路非常相似。
建模就是通過數學的手段對物理現象的表示。在工程上，通常希望忽略一些無關緊要的現象的同時，對系統的重要行為特性進行建模。可以完全忽略系統響應的許多方面，也就是這部分內容為“未建模”的，僅使用簡化的元件構建端口方程。簡化的模型可以得到對系統行為的物理觀察，這有助於工程師設計系統來實現指定方式運行。因此，建模過程就涉及到使用近似來忽略較小但比較復雜的現象，來嘗試了解最重要的內容。當這種基本了解已經有了以后，就可能需要通過考慮一些以前被忽視的現象來完善模型。實際上，真實的物理系統非常復雜，對其詳細的分析很容易得到一些難以處理並且毫無用處的數學混亂結果。近似模型是獲得理解和物理描述的重要工具。
如第2章所述，在設計良好的以CCM工作的變換器中，開關紋波很小。因此我們應該忽略開關紋波，僅對變換器波形中潛在的交流變化建模。例如，假設將交流變化引入變換器的控制信號\(v_c(t)\)，使得：
其中\(V_{c}\)和\(V_{cm}\)為常數，\(|V_{cm}|<<V_{c}\)，調制頻率\(\omega_{m}\)遠小於變換器開關頻率\(\omega_{s}=2\pi f_{s}\)。該控制信號被饋送到脈沖寬度調制器（PWM）並產生一個開關頻率為\(f_{s}=1/T_{s}\)的柵極驅動信號，並且每個開關周期的占空比取決於該開關周期施加的控制信號\(v_{c}(t)\)。
最終的晶體管驅動信號如圖7.2(a)所示，典型buck-boost變換器電感電流\(i_{L}(t)\)輸出電壓波形\(v(t)\)如圖7.2(b)所示。\(v(t)\)的頻譜如圖7.3所示。該頻譜包含了開關頻率及其諧波和邊帶成分。如果開關紋波較小，則這些分量的幅值就較小。此外，頻譜在調制頻率\(\omega_{m}\)處包含一個低頻分量。該分量的大小和相位不僅取決於占空比的變化，還取決與變換器的頻率響應。如果我們忽略了變換器開關紋波，其低頻分量依然存在（如圖7.2(c))。我們交流建模工作的目標就是預測這個低頻分量。
Fig 7.2 AC variation of the converter signals
Fig 7.3 Specturm of the output voltage waveform \(v(t)\) of Fig 7.2
在7.2節中介紹了一種推導CCM變換器小信號模型的簡單方法。通過平均一個開關周期可以消除電感電流和電容電壓的開關紋波。因此，電感和電容波形低頻分量通過以下形式的方程進行建模：
其中\(<x(t)>_{T_{s}}\)是\(x(t)\)在整個\(T_{s}\)時間長度內的平均值：
因此，我們將采用一種基本的近似方法，也就是通過平均一個開關周期來消除高頻紋波。從而允許平均值從一個開關周期到下一個開關周期變化，來對低頻變化進行建模。實際上，式7.3的移動平均值構成了對波形的低通濾波。本章末尾列出了有關變換器平均建模的眾多參考文獻中的一部分。（具體參見原文）。
請注意，在變換器工作於穩態時電感伏秒平衡和電容電荷平衡的原理可以用來預測式7.2右側為0。式7.2描述了在一個開關周期內施加非零平均電感電壓和電容電流時，電感電流和電容電壓如何變化。式7.2的平均電感電壓和電容電流通常是變換器中信號的非線性函數，因此式7.2構建了一組非線性微分方程。實際上，圖7.3還包含調制波頻率\(\omega_{m}\)的諧波。在大多數變換器中，隨着調制頻率\(\omega_{m}\)接近開關頻率\(\omega_s\)或者調制幅值\(D_{m}\)接近靜態占空比\(D\)，這些諧波的幅值會變得很大。非線性元素在電氣工程中並不罕見。實際上所有的半導體器件都表現出非線性行為。為了獲得易於分析的線性模型，我們通常構建一個圍繞靜態工作點進行線性化的小信號模型，其中忽略了調制或者激勵頻率的諧波。例如，圖7.4說明了圖7.4(b)所示的熟悉的二極管的\(i-v\)特性的線性化。假設二極管電流\(i(t)\)具有靜態（DC）值\(I\)和一個信號分量\(\hat{i}(t)\)。因此，二極管兩端電壓\(v(t)\)就是包含晶體電壓\(V\)和信號分量\(\hat v(t)\)。如果信號分量相比靜態值非常小：
然后，\(\hat v(t)\)和\(\hat i(t)\)之間的關系就是近似線性的，\(\hat{v}(t)=r_{D} \hat{i}(t)\)。電導\(1/r_{D}\)代表了靜態工作點處二極管特性的斜率。圖7.4(c)的小信號等效電路模型描述了靜態工作點附近微小變化時二極管的特性。
Fig 7.4 Small-signal equivalent circuit modeling of the diode: (a) a nonlinear diode conducting current i; (b) linearation of the diode characteristic around a quiescent point; (c) a linearized small-signal model.
非線性變換器特性的一個示例是buck-boost變換器的穩態輸出電壓\(V\)與占空比\(D\)之間的關系，如圖7.5所示。假定變換器工作在一定的直流輸出電壓下，比如\(V=-V_{g}\)，其對應的靜態占空比就是\(D=0.5\)。關於該靜態值的占空比的變化量\(\hat{d}\)將激發出輸出電壓中的變化量\(\hat{v}\)。如果占空比變化的幅值足夠的小，那么我們可以通過線性化曲線來計算最終的輸出電壓變化。圖7.5中線性化特性的斜率與實際非線性特性曲線在靜態工作點的斜率相同；這個斜率就是該變換器的“控制-輸出”直流增益。如果占空比的變化\(\hat{d}\)足夠的小，則線性化和非線性特性的值將會近似相等。
Fig 7.5 Linearization of the static control-to-output charateristic of the buck-boost converter about the quiescent operating point \(D=0.5\).
盡管上述說明了小信號線性化的過程，但圖7.5的buck-boost示例過分簡化了。變換器的電感和電容使得增益呈現對頻率的響應關系。為了正確預測小信號傳遞函數的零極點，我們必須線性化式7.2中變換器的平均微分方程。這將在7.2節中完成。通過應用第3章中的方法，我們可以建立小信號交流等效模型。圖7.6給出了buck-boost變換器的小信號模型；可以使用常規電路分析方法來求解該模型，從而找到小信號傳遞函數，輸出阻抗以及其他與頻率相關的特性。在圖7.1所示系統中，可以插入等效電路模型來替代原本的變換器。當插入其他系統部分的小信號模型(例如脈沖寬度調制器)時，便獲得了完整的線性系統模型。可以使用標准線性技術（例如Laplace變換）來分析該模型，以深入了解系統的行為和特性。
Fig 7.6 Small-signal AC equivalent circuit model of the buck-boost converter.
在7.5節和第14章中，將介紹交流建模方法的兩個眾所周知的變體，狀態空間平均和電路平均。在14章中還討論了電路平均的擴展，也就是平均開關建模。由於開關是唯一引入開關諧波的元件，因此可以通過僅對開關波形進行平均來得到等效電路模型。只需要將開關替換為平均開關模型，即可獲得適用於分析或仿真的變換器模型。平均開關建模可以擴展到其他工作模式，例如不連續導通模式，以及電流編程控制和諧振變換器。在7.4節中，說明了可以以標准形式編寫任何DC-DC脈寬調制CCM變換器的小信號模型。這種等效電路稱為規范模型，其描述了這些變換器可能表現出的基本物理特性。7.3節描述了脈寬調制電路的簡化模型。
如果你不知道如何應用這些模型，那他們將毫無用處。所以，在第8章中，以面向設計和詳細的方式探討了變換器的頻率響應。基本的變換器小信號傳遞函數被制成表格。變換器傳遞函數和阻抗的伯德圖以簡單和近似的方式得到，從而可以深入了解復雜變換器系統的頻率響應的來源。
這些結果將應用於設計第9章中的變換器控制系統和第17章中的輸入濾波器。在第15和第18章中擴展了建模技術，包括了不連續導通模式和電流編程模式。