9.5 控制器設計
現在讓我們來考慮如何設計控制器系統，來滿足有關抑制擾動，瞬態響應以及穩定性的規范或者說設計目標。典型的直流控制器設計可以用以下規范定義：
1.負載電流變化對輸出電壓調節的影響。當負載電流在規定方式變化時，輸出電壓必須保持在指定范圍內。這就相當於對式(9.6)的閉環輸出阻抗的最大幅值進行了限制。這里重復給出：
如果在某些頻率范圍內，開環輸出阻抗\(Z_{out}\)幅值超過限值，那么環路增益\(T\)在這個頻率范圍內必須足夠大，來使得式(9.51)的閉環輸出阻抗的幅值小於限值。
2.輸入電壓變化(例如：在交流電源頻率的二次諧波處)對輸出電壓調節的影響。通常在交流輸入頻率的二次諧波上(120Hz或者100Hz)，對輸出電壓的變化幅度設置特定的最大限值。如果我們知道變換器輸入端出現的整流電壓\(\hat{v}_{g}\)紋波幅值，那么我們就可以用式(9.5)的閉環輸入-輸出傳遞函數來計算最終的輸出電壓\(\hat{v}\)紋波 ，這里重復給出：
可以通過增大紋波頻率下的環路增益幅值來減小輸出電壓紋波。在一個典型良好的設計中，\(||T||\)在120Hz處是20dB甚至更高(電網頻率60Hz)，從而使得式(9.52)的傳遞函數在幅值上要小於開環輸入-輸出傳遞函數\(||G_{vg}||\)一個數量級。
3.動態響應時間。當發生了大於指定的干擾，例如負載電流或者輸入電壓發生了很大的階躍變化，輸出變壓可能發生瞬變。在這個瞬態期間，輸出電壓通常會偏離其指定的允許范圍。最終，反饋回路工作使得輸出電壓返回限值之內。這個過程所需的時間就是動態響應時間。通常可以通過增加反饋環路穿越頻率來縮短響應時間。
4.過沖和振鈴。如9.4.4節中討論的，瞬態響應中允許的過沖和振鈴值可能受到限制。這樣的規定意味着相位裕度必須足夠大。
這些要求中的每一個對環路增益\(T(s)\)施加約束。因此，控制系統的設計涉及到對環路增益的修正。如圖9.2所示，為此目的，添加了一個補償器網絡。下面討論幾種設計補償器傳遞函數\(G_{c}\)的策略。
9.5.1 超前補償器(PD)
這種類型的補償器傳遞函數用於改善相位裕度。在遠小於穿越頻率\(f_{c}\)的\(f_{z}\)，添加了一個零點到環路增益中，從而使\(T(s)\)的相位裕度增加到所需的值。超前補償器也稱為比例-微分或PD控制器，在高頻下，零點使得補償器對誤差信號進行微分。它通常在包含兩極點響應的系統中進行應用。通過使用這種類型的補償器，可以在保持可接受的相位裕度的同時擴展反饋環路的帶寬(也就是穿越頻率)。(譯者：這里穿越頻率與帶寬之間的關系可以這么定性的理解)。
零點的副作用就是它使得補償器的增益隨着頻率以+20dB每十倍頻程的斜率增加。因此，必須采取措施確保\(||T||\)在所需的穿越頻率下保持等於1。並且，由於任何實際的放大器的增益在高頻下都應趨於零，因此補償器傳遞函數\(G_{c}(s)\)必須包含高頻極點。(譯者：這里並未采用理想PD，因為其物理實現不了)。這些極點還具有衰減高頻噪聲的有益作用。特別需要注意的是輸出電壓和反饋信號中存在的開關頻率諧波。如果補償器在開關頻率處的增益過大，則這些開關諧波可能會被補償器放大，並可能干擾脈沖寬度調制器的正常工作(參見7.3節)。因此，補償器網絡中的極點頻率應該小於開關頻率。這些考慮因素通常會限制穿越頻率\(f_{c}\)小於變換器開關頻率\(f_{s}\)的大約10%。此外，電路設計人員還要注意，不要超過可用運算放大器的增益帶寬限制。
因此，超前補償器傳遞函數通常包含一個低頻零點和幾個高頻極點。式(9.53)給出了一個包含單個高頻極點的簡化示例:
其如圖9.28所示：
Fig. 9.28 Magnitude and phase asymptotes of the PD compensator transfer function Gcof Eq. (9.53)
最大相位出現在頻率\(f_{\varphi max}\)處，這個頻率由極點和零點的幾何平均值給出：
為了獲得最大的相位裕度改善，我們應該設計補償器使得頻率\(f_{\varphi max}\)與環路增益的穿越頻率\(f_{c}\)一致。這個頻率下的相位值為：
如圖：
Fig. 9.29 Maximum phase lead θ vs. frequency ratio \(f_p/f_z\) for the lead compensator
這個方程被描繪在圖9.29中。根據式(9.55)還可以得到：
其中\(\theta=\ang G_{c}(f_{\varphi max})\)。式(9.53)和(9.55)表明，為了最好的獲得頻率\(f_{c}\)處的補償器的相位超前，應按如下所示選擇極點頻率和零點頻率：
當我們希望避免改變穿越頻率時，將補償器增益的幅值在環路增益穿越頻率\(f_{c}\)處設置為單位1。這就需要\(G_{c0}\)可以根據以下公式來確定：
可以看到，\(G_{c0}\)小於1，因此，超前補償器降低了反饋環路的直流增益。當需要改變穿越頻率\(f_{c}\)時，可以選擇其他的\(G_{c0}\)；例如，增大\(G_{c0}\)的值就使得穿越頻率增加。如果頻率\(f_{p}\)和\(f_{z}\)如式(9.57)所示選擇，那么式(9.53)中的\(f_{\varphi max}\)將與新的穿越頻率\(f_{c}\)保持一致。
圖9.30給出了包含兩極點典型環路增益的bode圖。原始\(T(s)\)的相位裕度很小，因為穿越頻率\(f_{c}\)實質上大於極點頻率\(f_{0}\)。添加了補償器后的結果也被描繪在了圖中。該示例的超前補償器的設計保持了相同的穿越頻率，但改善了相位裕度。
Fig. 9.30 Compensation of a loop gain containing two poles, using a lead (PD) compensator. The phase margin \(\varphi_m\) is improved
9.5.2 滯后補償器(PI)
這種類型的補償器通常用來增加低頻環路增益，從而使直流以及遠低於環路穿越頻率的頻率段更好的調節輸出。正如式(9.59)和圖9.31所示，在頻率\(f_{L}\)處，將反轉的零點添加到了環路增益中：
如果\(f_{L}\)遠低於環路穿越頻率\(f_{c}\)，那么相位裕度不會被改變。這種補償器也被稱為比例-積分調節器，或者PI控制器。在低頻時，反轉的零點會使補償器對誤差信號進行積分。在一定程度上可以使補償器增益在直流上任意大，那么直流環路增益也就會任意大。這使得誤差信號的直流分量接近零。從而使得穩態輸出電壓得到很理想的調節，並且干擾到輸出的傳遞函數在直流時接近零。在實際中，使用常規的運算放大器可以很容易實現式(9.59)所示的補償器。
Fig. 9.31 Magnitude and phase asymptotes of the PI compensator transfer function Gc of Eq. (9.59)
盡管PI控制器幾乎可以用於所有類型的反饋系統，但對於原系統包含單極點的系統而言，它是一種非常簡單有效的方法。對於圖9.32的示例，原始未補償環路增益如下所示：
圖為：
Fig. 9.32 Compensation of a loop gain containing a single pole, using a lag (PI) compensator. The loop gain magnitude is increased
當使用了式(9.59)的補償器，那么補償后的環路增益為\(T(s)=T_{u}(s)G_{c}(s)\)。圖9.32同樣給出了\(T(s)\)的幅值和相角漸近線。所期望的穿越頻率\(f_{c}\)可以通過補償器的高頻增益\(G_{c \infty}\)來得到。如果在高頻下用漸近線來近似環路增益，在高頻下我們可以寫出：
在穿越頻率\(f=f_{c}\)處，環路增益的幅值為單位1。式(9.61)可以預測其穿越頻率為：
因此，為獲得期望的穿越頻率\(f_{c}\)，我們需要選擇如下所示的補償器增益\(G_{c \infty}\)：
轉折頻率被選擇為遠小於\(f_{c}\)，從而使得系統保持足夠的相角裕度。
圖9.33給出了\(1/(1+T(s))\)的幅值漸近線。在頻率小於\(f_{L}\)時，PI控制器改善了對干擾的抑制。在直流處，\(G_{c}\)的幅值接近無窮，且\(1/(1+T)\)的幅值趨於0。因此，如式(9.51)和(9.52)所示的閉環擾動-輸出傳遞函數在直流處趨向於0。
Fig. 9.33 Construction of \(||1/(1+T)||\), for the PI-compensated example of Fig.9.32
9.5.3 組合補償器(PID)
可以結合超前和滯后補償器的優點，從而來獲得寬的帶寬和零穩態誤差。在低頻下，補償器對誤差信號進行積分，從而獲得較大的低頻環路增益，並精確調節輸出電壓的低頻分量。在高頻段(穿越頻率附近)，補償器將相位超前引入環路增益，從而改善了相位裕量。這種補償器就叫做PID控制器。
圖9.34給出了該補償器實際典型版本的bode圖。補償器的傳遞函數為：
頻率\(f_{L}\)處的反轉零點與PI控制器以相同的方式起作用。像PD控制器一樣，頻率\(f_{z}\)上的零點在穿越頻率附近使得相位超前。實際的補償器中必須存在頻率為\(f_{p1}\)和\(f_{p2}\)的高頻極點，來使得增益在高頻下被衰減，防止開關紋波干擾脈寬調制器的工作。環路增益必須選擇為大於\(f_{L}\)和\(f_{z}\)，並且小於\(f_{p1}\)和\(f_{p2}\)。
Fig. 9.34 Magnitude and phase asymptotes of the combined (PID) compensator transfer function Gc of Eq. (9.64)
9.5.4 設計實例
為了說明PI和PD補償器的設計，讓我們考慮圖9.35所示的DC-DC Buck變換器的組合PID控制器的設計。該系統的額定輸入電壓\(v_{g}(t)\)為28 V。我們期望為15 V和5 A負載供電。這里我們以3 Ω電阻對負載進行建模。並且我們有一個精確的5 V電壓作為參考。
Fig. 9.35 Design example
第一步就是選擇反饋增益\(H(s)\)。選擇增益\(H\)來使得調節器產生穩定的15 V直流輸出。讓我們假設我們將成功設計出一個良好的反饋系統，使輸出電壓准確跟隨參考電壓。這就需要一個較大的環路增益來實現，那么就需要一個較小的誤差電壓：\(v_{e} \approx 0\)。因此，\(Hv \approx v_{ref}\)，所以，我們選擇：
靜態占空比由變換器的穩態解給出：
控制電壓的靜態值\(V_{c}\)必須滿足式(7.85)，因此：
因此，系統的靜態條件是已知的。但設計補償器增益\(G_{c}(s)\)仍然是必要的。
控制系統的小信號交流模型如圖9.36所示。Buck變換器的交流模型以規范模型形式表示。還對輸入電壓和負載電流中的擾動進行了建模。為通用起見，框圖中還包含了參考電壓的變化量\(\hat{v}_{ref}\)；不過在直流穩壓器中，這些變化量通常為0。
Fig. 9.36 System small-signal ac model, design example
前幾章已經討論了開環變換器的傳遞函數。開環控制-輸出傳遞函數為：
開環控制-輸出傳遞函數包含兩個極點，並且可以用如下所示的歸一化形式表示：
通過令式(9.68)和(9.69)中的系數相等，可以得到直流增益，轉折頻率以及\(Q\)系數為：
實際中，由於寄生參數的存在，如電容等效串聯電阻(ESR)，將觀察到較低的\(Q\)系數。圖9.37包含了\(G_{vd}(s)\)的bode圖。
Fig. 9.37 Converter small-signal control-to-output transfer function \(G_{vd}\), design example
開環輸入-輸出傳遞函數為：
這個傳遞函數與\(G_{vd}(s)\)包含相同的極點，並且可以寫為標准形式：
其中\(G_{g0}=D\)。Buck變換器的開環輸出阻抗為：
用這些方程以框圖形式來表示變換器，將產生圖9.38的完整系統框圖。系統環路增益為：
框圖為：
Fig. 9.38 System block diagram, design example
將式(9.69)代入式(9.74)可得：
閉環擾動-輸出的傳遞函數已經由式(9.5)和(9.6)給出。圖9.39描繪了具有單位增益補償器的未補償環路增益\(T_{u}(s)\)的bode圖。那么式(9.75)可以被寫為：
其中直流增益為：
bode圖為：
Fig. 9.39 Uncompensated loop gain \(T_u\), design example
未補償的環路增益穿越頻率約為1.8 kHz，相角裕度小於5°。
讓我們來設計一個補償器，使得穿越頻率\(f_{c}=5khz\)，或者開關頻率的1/20。從圖9.39中可以看出，未補償環路增益在\(5kHz\)處近似為\(T_{u0}(f_{0}/f_{c})^2=0.093 \Rightarrow -20.6dB\)。因此，要在\(5kHz\)處獲得單位環路增益，我們的補償器在\(5kHz\)處應該具有增益為+20.6 dB。此外，\(5kHz\)處未補償環路增益的相角接近-180°，因此，補償器應改善相角裕度。因此，需要一個超前補償器，PD控制器。讓我們選擇52°(任意的選取)相角裕度進行設計。根據圖9.25，這個選擇使得閉環極點的\(Q\)系數為1。圖9.26的單位階躍響應表現出16%的峰值過沖。在\(f_{c}=5\ kHz\)和\(\theta=52°\)的情況下對式(9.57)進行評估，就可以得到如下的補償器極點和零點頻率：
為了使補償器在5 kHz增益為\(20.6\ dB \Rightarrow 10.7\)，低頻補償增益必須為：
PD控制器幅值和相位的bode圖如圖9.40所示。
Fig. 9.40 PD compensator transfer function \(G_c\), design example
在采用了PD控制器后，環路增益為：
補償后環路增益如圖9.41所示。可以看到，從1.4 kHz到17 kHz的頻率范圍內，\(T(s)\)的相角裕度大約為52°。因此，使得穿越頻率偏離5 kHz的因素值變化后對相角裕度的影響很小。此外，從圖9.41中還可以看出，環路增益的直流幅值為\(T_{u0}G_{c0} \Rightarrow18.7\ dB\)。
Fig. 9.41 The compensated loop gain of Eq. (9.80)
\(1/(1+T)\)的漸近線如圖9.42所示。這個值的直流漸近線為-18.7 dB。因此，在頻率小於1 kHz的范圍內，反饋環路將輸出電壓擾動衰減18.7 dB。例如，假設輸入電壓\(v_{g}(t)\)包含幅值為1 V的 100 Hz變化的量。根據式(9.72)，在沒有反饋環路的情況下，這個擾動將根據式中開環傳遞函數\(G_{vg}(s)\)傳播到輸出。
Fig. 9.42 Construction of \(1/(1 + T)\) for the PD-compensated design example of Fig.9.41
在100Hz處，該傳遞函數的增益基本等於直流漸近線\(D=0.536\)。因此，在沒有反饋回路的情況下，在輸出端將會觀察到幅值為0.536 V的100 Hz變化電壓。在反饋存在的情況下，式(9.5)的閉環輸入-輸出傳遞函數可以獲得；在我們的示例中，這將100 Hz的變化衰減了\(18.7\ dB \Rightarrow8.6\)。現在100 Hz的輸出電壓變化幅值為\(0.536/8.6=0.062\ V\)。
正如9.5.2節所述，可以通過增加一個反轉的零點來進一步改善低頻調節特性。那么就可以得到9.5.3節中的PID控制器。補償器傳遞函數變為：
這個補償器增益的bode圖如圖9.43所示。由式(9.78)給出的零極點頻率並未改變。並且選擇中頻增益\(G_{cm}\)與先前的式(9.79)中\(G_{c0}\)相同。因此，對於大於\(f_{L}\)的頻率，環路增益的幅值不會被反轉的零點改變。環路仍然表現出穿越頻率為5 kHz。
Fig. 9.43 PID compensator transfer function, Eq. (9.81)
為了使反轉的零點不會明顯降低相角裕度，讓我們(任意選擇)選擇\(f_{L}\)為穿越頻率的十分之一，即500 Hz。然后，反轉的零點將增大低於500 Hz頻率下的環路增益，從而改善輸出電壓的低頻調節。從而圖9.44的環路增益就可以得到。同時，還構造了\(1/(1+T)\)的幅值。可以看出，在500 Hz的反轉零點處，\(1/(1+T)\)的幅值減小了大約\((100\ Hz)/(500\ Hz)=1/5\)。\(1/(1+T)\)在100 Hz處的總衰減為-32.7 dB。\(v_{g}(t)\)的1 V 100 Hz變化將在輸出\(v(t)\)引起12 mV的變化。通過增加\(f_{L}\)可以獲得進一步的改進；但是，這需要重新設計補償器的PD部分來保持足夠的相角裕度。
Fig. 9.44 Construction of \(||T||\)and \(||1/(1 + T)||\) with the PID compensator of Fig.9.43
輸入-輸出傳遞函數在圖9.45中構造。式(9.72)的開環傳遞函數\(G_{vg}(s)\)和閉環傳遞函數\(G_{vg}(s)/(1+T(s))\)都使用了圖形化代數方法進行構建。兩個傳遞函數在大於穿越頻率的部分重合。在小於穿越頻率\(f_{c}\)處，閉環傳遞函數以系數\(T(s)\)衰減。可以看到，\(G_{vg}(s)\)的極點被\(1/(1+T)\)的零點抵消了。因此，閉環輸入-輸出傳遞函數近似為：
圖為：
Fig. 9.45 Comparison of open-loop line-to-output transfer function \(G_{vg}\) and the closed-loop line-to-output transfer function of Eq. (9.82)
因此，圖形化代數方法允許寫出近似簡單的干擾-輸出閉環傳遞函數。有了這樣的解析表達式，系統設計人員就可以輕松計算輸出干擾，並且可以獲得塑造環路增益\(T(s)\)所需的相關特性，從而滿足系統要求。然后，可以使用計算機仿真來判斷在所有工作條件下以及元件參數在預期范圍內變化是否滿足規格要求。本節中介紹的示例的計算機仿真結果可以在15.4.2節中找到。