單變量微積分筆記20——三角替換1（sin和cos）

sin和cos的常用公式

　　基本公式：

 

　　半角公式：

 

　　微分公式：

 

　　積分公式：

三角替換

示例1

 

　　根據微分公式，cosxdx = dsinx

示例2

示例3

半角公式

示例1

示例2     

　　解法1：

　　解法2：

綜合示例

示例1

示例2

示例3

 

　　三角函數和x的倍數都不一樣，我們的目標是將x的倍數和三角函數轉換為一致。

 

 示例4

　　y = sin(ax)繞x軸旋轉一周，ax的定義域是[0, π]，求旋轉后圖形的體積。

　　根據圓盤法（圓盤法參見數學筆記17——定積分的應用2（體積））：

　　解法2：

 示例5

　　如下圖所示，已知圓的半徑a和線段長度b，求陰影部分的面積。

　　解法1，使用中學數學的知識，引一條與圓交於C點的輔助線，所求面積就變成了三角形的面積S₁與扇形的面積S₂之和，如下圖所示：

　　通過圓的公式x² + y² = a²，可知C的坐標是。

　　將上圖映射到極坐標，則x = acosθ，y = asinθ，在C點，y = b = asinθ，θ = arcsin(b/a)

 

　　解法2，使用定積分直接求解，面積是：

　　 現在的問題變成了如何求解定積分。

　　如上圖所示，與解法1一樣引入極坐標，x = acosθ，y = asinθ，將θ寫成關於y的函數，θ = arcsin(y/a)

　　現在已經求得原函數，最后一步是求解定積分。可以將積分上下限替換成θ的表達式，也可將原函數的θ用y表示，這里使用第二種：

　　看起來積分並不是每次都能使問題簡單，雖然得到了一個方便的表達式，但這個表達式求解起來可能很困難。

 

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　　 出處：微信公眾號 "我是8位的"

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