概率筆記1——獨立事件下的簡單概率

基礎概率和簡單概率

硬幣和骰子

　　一個硬幣有兩面，我們都知道，投擲一次硬幣，正面朝上的概率是50%；一個骰子有六個數字，投擲一次骰子，每個數字出現的概率均等，都是1/6

　　上述兩個概率用數學解釋就是：一個事件的概率 = 滿足要求的事件數目 / 所有等可能性事件的數目。所以硬幣正面朝上的概率 P(head) = 1/2，數字1在骰子中出現的概率是P(1) = 1/6。

　　同樣的，因為一個骰子有3個偶數，拋擲一次骰子，偶數出現的概率就是P(偶數) = 3/6 = 1/2；因為沒有任何一面有兩個數字，所以同時出現2或3的概率是 P(2 or 3) = 0/6 = 0

不同顏色的彈珠

　　袋子里裝有8個彈珠，其中3個黃色，2個紅色，2個綠色，1個藍色。從袋子里拿出一個彈珠，彈珠是黃色概率？

　　如上圖所示，很容易得知P(yellow) = 3/8

概率相加

　　將一副撲克牌去掉大小王，剩余的52張牌中共四種花色，每種花色13張，很容易知道抽到J的概率是 P(J) = 4/52 = 1/13；抽到♠的概率P(♠) = 13/52 = 1/4；抽到♠J的概率 P(♠J) =  1/52；抽到J或♠的概率是多少呢？

　　先看下圖：

　　J或♠的概率就是綠色和藍色正方形所覆蓋的面積，P(J or ♠) = (4 + 13 - 1)/52 = 4/13

　　由於重疊部分是P(J and ♠)，故P(J or ♠) = P(J) + P(♠) - P(J and ♠) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 4/13，由此得到概率相加公式：

P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B)

　　將or和and用集合符號表示：

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

　　其中P(A∩B)可簡寫作P(AB).

　　如果P(A and B) = 0，則A和B是互斥事件，P(A)和P(B)是互斥概率。

獨立事件的組合概率

等概率事件

　　計算一枚硬幣兩次投擲出正面的概率。

　　如果H表示正面，T表示方面，兩次投擲的所有可能是：HH, HT, TH, TT，所以P(HH) = 1/4

　　在投擲時，第一次投擲的結果對第二次投擲沒有任何影響，我們稱這兩次投擲事件是相互獨立的。對於獨立事件，過去事件發生的概率不影響將來事件的概率。

　　對於本例，兩次投擲出正面的概率 = 第一次投出正面的概率×第二次投出正面的概率，即P(HH) = P(H₁)·P(H₂) = 1/2 × 1/2 = 1/4。同理，如果有三枚硬幣，P(THT) = P(T₁)P(H₂)P(T₃) = 1/8

　　當A₁A₂A₃……A_n相互獨立，

不等概率事件

　　假設硬幣是不均勻的，每次投擲硬幣后正面朝上的幾率更大，P(H) = 60%，投擲一次硬幣就是一個不等概率事件。很容易得知 P(T) = 1 – P(H) = 40%

　　連續投擲兩次硬幣，正面朝上的概率：

P(H₁H₂) = P(H₁)·P(H₂) = 60% × 60% = 36%

　　連續投擲三次硬幣，兩次正面一次反面訂單概率：

P(H₁H₂ T₃) = P(H₁)·P(H₂)·P(T₃) = 60% × 60% × 40% = 9.6%

　　可以看出，在獨立事件樣本中，等概率和不等概率事件並沒有差別。

示例

示例1

　　有一個周長是36π的圓，圓中又包含了一個面積是16π的小圓，現在大圓中隨機選擇一點，該點落在小圓中的概率？

　　S_bigCircle = π(36/2)² = 324π,  P(point also in smaller circle) = 16π/  324π = 4/81

示例2

　　某機構舉行了一次抽獎活動，一共有兩個獎品，當第一個獎券被抽到后，把獎券貼到獎品上，再抽第二個獎券決定獲獎者。這兩次個抽獎事件是相互獨立的事件嗎？

　　不是。獨立事件的含義是一個事件的結果不影響其它事件的結果。本例中兩個事件是有關聯的，因為獎券的數目是固定的，第一張獎券貼好后，獎券總數將減少一張，第二張獎券將不可能是第一張獎券。可以想象一下有三張分別標有A、B、C的獎券，第一次A被抽到，第二次抽到的只可能是B或C，所以第二個事件的結果和第一次抽到的獎券是相關的，兩個事件不是相互獨立的。使它們互相獨立的方法是，每次抽到獎券后寫上獲獎者的名字，再將獎券放入獎券箱重新參與抽獎，而不是貼到獎品上。

示例3

　　有兩道選擇題，第一題有四個答案，第二題有三個答案，每道題只有一個答案是正確的。如果使用隨機猜測法，猜對每個問題的概率是多少？同時猜對兩個問題的概率是多少？

　　P(test1) = 1/4,  P(test2) = 1/3

　　P(test1 and test2) = P(test1 ∩ test2) = P(test1) × P(test2) = 1/12

　　假設兩題的正確選項分別是D和B，本例可以用下面的表格描述：

　　共有12個方格，紅色方格是兩個問題都猜對的概率。所以說概率就是面積。

示例4

　　投三次骰子，均投得偶數的概率？骰子是六面體。

　　三次事件是相互獨立的，每次投出偶數的概率是3/6，三次均投出偶數的概率：

　　P = (3/6) × (3/6) × (3/6) = 1/8

　　幾率很小啊，並不是賭徒們認為的1/2，所以十賭九輸啊。

示例5

　　投擲三枚硬幣，

1. 恰好兩枚正面朝上的概率？
2. 至少有一次正面朝上的概率？

　　可以列出所有可能的結果：HHH, HHT, HTT, HTH, THH, THT, TTH, TTT。由此可知問題1的答案P(Exactly 2 H) = 3/8；問題2的答案P(at least 1 H) = 7/8

　　如果投擲更多的硬幣，畫圖法就不靠譜了，必須找到數學方法。先來看樣本空間的樣本數量，每次投擲硬幣可以得到兩種結果，投擲3次，根據乘法結合律可以得到2×2×2種結果。再來看滿足要求的事件數目，對於問題1，可以看作共有三個位置，其中恰好有兩個安插了正面朝上的硬幣，它們的順序無關緊要，這是典型的組合問題，可以用  表示。於是問題1變成了：

　　對於問題2，相當於1減所有反面朝上的概率：

　　如果投擲10次硬幣：

在n個獨立事件中發生k個事件的概率

　　將上面的示例5擴展，投擲n個硬幣，恰好有k個正面朝上：

 

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 　　作者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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