1.從條件概率的定義來看獨立事件的定義
2.從古典概率的定義來看獨立事件的定義
3.P(A|B)和P(A)的關系是什么？
4.由P(AB)=P(A)P(B)推出“獨立”
5.從韋恩圖來看獨立事件的定義
6.為什么多個事件兩兩獨立推不出相互獨立
7.在考研古典概率中，有一個P(A|B)=P(A)就可以推出兩者是獨立事件嗎？
8.在考研中，獨立事件可以看作是“獨立”的嗎？
1.從條件概率的定義來看獨立事件的定義
在考研古典概率中，我們最初都是通過條件概率公式來定義獨立事件的。
這從條件概率的角度來理解就是在條件B的情況下，A發生的概率與之前相比不變。
所以我們常常理解成，如果兩個事件互為獨立事件，則B的發生對A沒有影響。但這種理解，其實是有謬誤的，因為並不是沒有影響，只是影響沒有體現在比例值上！。
也有一種看法是，B的發生讓A的事件發生概率保持不變，保持不變本身也可以看作是一種影響，這種思路也可以理解成：
B發生的同時，A跟着一起發生的概率等於全集中隨機選取一個樣本點屬於A的概率
從這個角度來看，似乎獨立事件也不是那么獨立，條件概率值等於全集發生概率值，似乎還約束了兩個事件之間的關系。不過導致這一切發生的根源還要從古典概率來入手。
2.從古典概率的定義來看獨立事件的定義
因為古典概率的定義是根據分式比例值定義的，條件概率的定義也是根據比例值定義的，這就導致一個問題就是3/5=6/10。
原來之所以在事件B的條件約束下，事件A的發生概率沒有變，是因為：
分子和分母被縮小了相同的比例
所以我們能說事件B的條件對事件A發生沒有影響嗎？不能！
我們只能說事件B的條件對事件A的發生概率沒有影響！
很明顯條件A讓B的樣本點中的x6,x7,x8都被排除在外了，所以是造成了影響，但是對概率值是沒有影響的，因為概率值是一個比例值，3/5和6/10是一樣大的。
從這一步似乎我們可以看出，為什么多事件的獨立性，兩兩獨立推不出相互獨立。這是因為，樣本點之間有重合的，獨立事件定義中的條件概率可以看作是對樣本空間和事件B進行了等比例約束。這種約束，在多事件中，可能有重合的樣本點，這就導致等比例約束被打破了。
3.P(A|B)和P(A)的關系是什么？
首先它們不在一個樣本空間中，所以根本不能看做是一個事件（包含的樣本點數量也不一樣），實際上條件概率更應該看作是一個比例值，而不是一個事件。
在考研-古典概率中，如果我們可以得到P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)中的任何一個，我們就可以推導出這倆一定屬於獨立事件。
除此之外，P(A|B)和P(A)之間的其他關系式，都是沒有太多意義的，不過利用其推出的另外一個關系式用處更大，那就是P(AB)=P(A)P(B)
4.由P(AB)=P(A)P(B)推出“獨立”
我們之前是利用條件概率來定義獨立事件，我們討論條件概率的定義是用來解決交事件的計算，這里我們把獨立事件也聯系進來。
兩個概率值相乘其實沒什么實際意義，一般來講，乘法運算表明了兩個事件的發生邏輯關系，所以這里也體現了前者的發生對后者沒有影響。因此從P(AB)=P(A)P(B)中，我們更可以看出來一種獨立性出現。
實際中，獨立性也常用來計算交事件的概率，畢竟如果兩個事件之間“沒有影響”，計算同時發生的概率值就方便很多，只需要直接相乘就可以，這個我們不學獨立性，也會計算。
5.從韋恩圖來看獨立事件的定義
說實話，如果兩個事件之間真的沒有任何聯系，那其實沒法用韋恩圖來表示，因為韋恩圖的基本單位-樣本點事件，之間都是互斥事件，所以你畫出兩個事件之間，都是一定存在某些聯系的。不過，上文我們也講了，不是沒有聯系，只是這種聯系沒有體現在概率值上。
所以我們依然可以簡單的畫出來，只要注意全部等比例縮小相同倍數即可。
6.為什么多個事件兩兩獨立推不出相互獨立
因為等比例縮放，之間的樣本點可能有重復的，導致雖然任意選出兩個事件，都是構成獨立事件的，但全集和事件C的縮放，可能不再成比例了。
也就是推不出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
多個事件，相互獨立可以推出兩兩獨立，但兩兩獨立推不出相互獨立，也可以從波羅梅奧環中看出來：
7.在考研古典概率中，有一個P(A|B)=P(A)就可以推出兩者是獨立事件嗎？
可以，我們可以從公式中推導出來，也可以利用古典概率定義的集合性質-交換律來想清楚，也可以用韋恩圖來看出來。
因此我們只要看到P(A|B)=P(A)，P(A|B)=P(A)，P(AB)=P(A)P(B)任意一個，就可以認為是獨立事件。
8.在考研中，獨立事件可以看作是“獨立”的嗎？
可以的，只要在考研中，如果你遇到任何兩個事件中存在一定關系，哪怕是非常復雜不好用或與非來表示的，那也一定不是獨立事件，構不成獨立事件的三個等式。