概率論基礎_事件、條件概率、全概率公式、貝葉斯公式

1. 事件

互斥事件-不可能同時發生的事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發生。滿足A∩B = Φ、P(A∩B) = 0，則P(A∪B) = P(A) + P(B)且P(A) + P(B) ≤ 1。

對立事件-事件A與事件B不能同時發生，且事件A與事件B在任何一次試驗中“必有一個發生”。滿足A∩B = Φ、P(A∩B) = 0，A∪B = 樣本空間E，則P(A∪B) = P(A) + P(B)且P(A) + P(B) =1。

(對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件)

窮舉事件-試驗所有可能結果事件。P(A∪B∪C) = 1。

相交事件-事件A和事件B有可能同時發生。P(A∩B) ≠ 0，則P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

相關事件(事件之間存在相關性)-事件之間互有影響：IF P(A|B) ≠ P(A) THEN 事件AB為相關事件。

獨立事件(事件之間存在獨立性)-事件之間互不影響：IF P(A|B) = P(A)  THEN 事件AB為獨立事件，P(A∩B) = P(A) * P(B)。

Tips：

1.互斥事件不獨立，互斥事件AB無交集且P(A∩B) = 0，獨立事件AB存在交集且P(A∩B) = P(A) * P(B)。

2.判斷兩事件是獨立事件還是相關事件：若P(A∩B) = P(A) * P(B) 則獨立；若P(A∩B)≠ P(A) * P(B)則相關。

 

2. 條件概率

在已知事件B發生的前提下，事件A發生的概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

 

3. 全概率公式

存在事件AB，事件B有兩種發送方式：與事件A一起發送；不與事件A一起發生。

即：P(B) = P(A∩B) + P(A'∩B) = P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A')

推廣：

如果事件組B₁，B₂，.... 滿足

　　1.B₁，B₂....兩兩互斥，即 B_i ∩ B_j = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(B_i)>0,i=1,2,....;

      2.B₁∪B₂∪....=Ω ，則稱事件組 B₁,B₂,...是樣本空間Ω的一個划分。

P(A)  = P(AB₁)+P(AB₂)+....+P(AB_n) = P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)+...+P(A|B_n)P(PB_n)

意義：全概率公式給我們提供了另外一種思路求事件A發生的概率，即事件A = AB₁ .. AB_n 的並集。通過求小事件的概率相加求得事件A發生的概率。

 

4. 貝葉斯公式

貝葉斯定理是用來描述兩個條件概率P(A|B)和P(B|A)之間關系的定理，P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)，可以立刻導出P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A)。

基於全概率公式得出貝葉斯公式：P(B|A)=(P(A|B) * P(B)) / P(A) = (P(A|B) * P(B)) / P(A|B)P(B)+P(A|B')P(B'))。

其中P(B) P(B')稱作先驗概率。通常在應用中，B和B'被認為導致事件A發生的原因，P(B|A)表示在已知事件A發生了的條件下是B所導致的概率，P(B)表示B原因發生的概率，P(A|B)表達B原因導致事件A發生的概率。

 

2020-04-24 22：45