條件概率，全概率公式，貝葉斯公式
條件概率：在另外一個事件 B 已經發生的條件下，事件 A 發生的概率叫做在 A 對於 B 的條件概率，記作 \(p(A|B)\)。顯然\(p(AB)=p(A|B)p(B)\)。於是有：\(p(A|B)=\frac{p(AB)}{p(B)}\)。
獨立事件：若事件 B 是否發生對事件 A 的概率沒有影響，即\(p(A|B)=p(A)\)，則稱事件 A, B 相互獨立 (為獨立事件)。將前面那個式子代入，可以發現若兩個事件A和B獨立，則\(p(AB)=p(A)p(B)\)。換句話說，就是當有A的時候，B事件發生的概率等於無A的時候發生的概率(\(\frac{p(AB)}{p(A)}=\frac{p(B)}{p(\Omega)}\))。用維恩圖來理解：
第一幅圖表示A，B獨立，即\(p(AB)=p(A)p(B)\)。而如果把B往內移動一點，顯然在有A事件發生的情況下，B事件發生的幾率更大了(\(p(AB)/p(A)>p(B)/p(\Omega)\))。因此A，B便不是獨立的了。把B往外移動一點也是如此。
注意獨立事件和互斥事件的概念不同。互斥表示\(p(AB)=0\)，獨立表示\(p(AB)=p(A)p(B)\)。也就是說，互斥表示兩個事件不能同時出現，獨立表示兩個事件沒有關系。兩個事件不能同時出現，表示兩個事件是有關系的，也就是說互斥一定不獨立。
完備事件組：若事件\(A_1,A_2,...,A_n\)滿足\((i)A_i\cap A_j=\emptyset\quad(ii)a_1\cap ...\cap a_n=\Omega\)，那么它們就是完備事件組。
全概率公式可以輕松推出：\(p(A)=\sum_{i=1}^{n}p(AB_i)=\sum_{i=1}^{n}p(A|B_i)p(B_i)\)（相當於一張大餅）。也有一些特殊形式：\(p(A)=p(AB)+p(A\bar{B})=p(A|B)p(B)+p(A|\bar{B})p(\bar{B})\)。
有 n 個怪物，每只怪物只能活一天，但是每個怪物在那天有 pi 的概率繁殖 i 個怪物 (0 ≤ i < l，且\(\sum_{i=0}^{l-1}p_i=1\))，求 (n 個怪物時為第 0 天) 第 m 天所有怪物都掛的概率。(m, l ≤ 1000)。
我們來看這道題：第m天所有怪物都掛的概率是第m天一個怪物系（也就是一個怪物和它的兒子）掛的概率的n次。以下討論在一個怪物系中的情況：
記第k天所有怪物都掛的概率為\(f_k\)，可以知道\(f_1\)就是第0天啥都不繁殖的概率，即\(f_1=p_0\)
考慮k>1的情況，令事件A為所有怪物在第k天全掛，事件\(B_i\)為第0天怪物繁殖i個，可以看出\(B_0, B_1, ..., B_{l-1}\)是\(\Omega\)的一個完備事件組。
可以看出，\(p(B_i)=p_i\)，事件\(A|B_i\)表示第一天有i個怪物，結果到第k天全掛了，相當於一直第0天有i個怪物，結果到第k-1天全掛了。這是一個子問題，相當於\(f_{k-1}^i\)！所以根據全概率公式可得：$$f_k=p(A)=\sum_{i=0}^{l-1}p(A|B_i)p(B_i)=\sum_{i=0}^{l-1}f_{k-1}^ip_i$$
這個做法的精髓在於通過全概率公式發現重復子問題。
1 #include <cstdio>
2 using namespace std;
3
4 const int maxday=1005, maxbirth=1005;
5 int t, n, k, m;
6 double f[maxday], p[maxbirth];
7
8 int main(){
9 scanf("%d", &t);
10 for (int tt=0; tt<t; ++tt){
11 scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
12 for (int i=0; i<n; ++i)
13 scanf("%lf", &p[i]);
14 f[1]=p[0];
15 for (int i=2; i<=m; ++i){
16 double now=1; f[i]=0;
17 for (int j=0; j<n; ++j, now*=f[i-1])
18 f[i]+=now*p[j];
19 }
20 double ans=1;
21 for (int i=0; i<k; ++i) ans*=f[m];
22 printf("Case #%d: %.7lf\n", tt+1, ans);
23 }
24 return 0;
25 }
全概率公式有一個好～基～友，叫做貝葉斯公式。全概率公式揭示了一般概率和條件概率之間的關系，而 Bayes 公式揭示了幾個條件概率之間的關系：
\(p(B_k|A)=\frac{p(A*B_k)}{p(A)}=\frac{p(A*B_k)}{\sum_{i-1}^np(A*B_i)}=\frac{p(A|B_k)p(B_k)}{\sum_{i=1}^np(A|B_i)p(B_i)}\)
（好累TwT……）
注意最后面那個分數還可以約來着。