全概率公式

引例

先舉個例子，小張從家到公司上班總共有三條路可以直達（如下圖），但是每條路每天擁堵的可能性不太一樣，由於路的遠近不同，選擇每條路的概率如下：

\(P(L_1)=0.5,P(L_2)=0.3,P(L_3)=0.2\)

每天上述三條路不擁堵的概率分別為：

\(P(C_1)=0.2，P(C_2)=0.4,P(C_3)=0.7\)

假設遇到擁堵會遲到，那么小張從 \(\mathcal{Home}\) 到 \(\mathcal{Company}\) 不遲到的概率是多少？

其實不遲到就是對應着不擁堵，設事件Ｃ為到公司不遲到，事件為選擇第i條路，則：

\[\begin{aligned} P(C)&=P(L_1)\times P(C|L_1) + P(L_2)\times P(C|L_2)+P(L_3)\times P(C|L_3)\\ &=P(L_1)\times P(C_1) + P(L2)\times P(C_2)+P(L_3)\times P(C_3) \end{aligned} \]

全概率就是表示達到某個目的，有多種方式（或者造成某種結果，有多種原因），問達到目的的概率是多少（造成這種結果的概率是多少）

全概率公式：

設事件\(L_1, L_2 \cdots L_n\)是一個完備事件組，則對於任意一個事件\(C\)，若有如下公式成立：

\[\begin{aligned} P(C)&=P(L_1)\times P(C|L_1) + P(L_2)\times P(C|L_2)+\cdots +P(L_n)\times P(C|L_n) \\ &= \sum^n_{i=1} P(L_i)P(C|L_i) \end{aligned} \]

那么就稱這個公式為全概率公式。

麻球繁衍

題意

一個麻球只能存活一天，這天他有 \(p_i\) 的概率產生 \(i\) 個后代（\(0 \leq i < n\)） 現在你有 \(k\) 個麻球，求\(m\) 天之后全部死亡的概率（在這之前全部死完也算）。

思路

我們設事件 \(L_0, L_1\cdots L_{n-1}\) 分別為產生 \(0, 1\cdots n - 1\) 個后代， \(C\) 為全部死亡的概率，則 \(P(L_i)=p_i\) ，每一天麻球是否死亡相互獨立，即 \(C\) ~ \(B(p, n)\)

設\(f(i)\) 為 \(1\) 只麻球 \(i\) 天內死亡的概率，則 \(P(C|L_i)=f(i-1)^j\)

由全概率公式

\[\begin{aligned} f(i)&=p_0+p_1f(i-1)+p_2f(i-1)^2+\cdots+p_{n-1}f(i-1)^{n-1}\\ &=\sum^{n-1}_{j=0}p_jf(i-1)^j\\ \end{aligned} \]

所求答案即為 \(f(m)^k\)

Code

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, k, m;
double p[1005], f[1005];
int main()
{
	cin >> n >> k >> m;
	for(int i = 0; i < n; i++)
		cin >> p[i];
	f[1] = p[0];
	for(int i = 2; i <= m; i++)
		for(int j = 0; j < n; j++)
			f[i] += p[j] * pow(f[i - 1], j);
	cout << fixed << setprecision(7) << pow(f[m], k);
return 0;
}