通俗易懂理解概率論中的“矩”

一、總結

一句話總結：

在概率論中，有一桿無處不在的“秤”。因為這把“秤”的存在，所以我們有了“矩”。

$$1.5 = 5 \times 10 \% + 100 \times 0.5 \% + 5000000 \times 0.00001 \%$$

 

 

二、如何理解概率論中的“矩”

 

給我一個支點和一根足夠長的棍子，我就可以舉起整個地球。

----阿基米德

對比物理的力矩，你會發現，概率論中的“矩”真的是很有啟發性的一個詞。

1 力矩

大家應該都知道物理中的力矩，我這里也不展開說細節了，用一幅圖來幫助大家回憶一下：

上圖中，兩邊能保持平衡，只要滿足下面的式子就可以了（很粗糙的式子，沒把力作為向量來考慮）：

其中， 都稱為力矩。

可以看出上圖的 大， 小，但由於桿子長度不同，仍然可以取得平衡。

利用上圖的原理，我們就可以制作出秤：

2 概率論中的“矩”

在概率論中，有一桿無處不在的“秤”。因為這把“秤”的存在，所以我們有了“矩”。

2.1 彩票的問題

福利彩票，每一注兩元錢，真是中國的良心啊，豬肉、房價都漲了多少了！？

每一注的中獎幾率如下（胡謅的）：

畫成概率分布大概就是這樣的：

不過，我想你大致不會認為，這花兩元錢買的彩票，真的就價值五百萬。

我們用概率來組裝一把“秤”：

“秤”擺好了，我們嘗試稱一下：

稱量實際上是：

這么少？不是說好了五百萬的嗎？

沒有辦法，中獎概率太低了，離秤的中心太近了（對應於力矩而言，就是力臂太短了）。中國有句古話：“二鳥在林不如一鳥在手”，說的真的有道理啊。

把整張彩票都放上去稱（秤上的刻度是隨便畫的，因為相差太懸殊，沒有辦法按照真是比例來畫）：

具體計算如下：

這張彩票原來只值1.5元？血本無歸啊！

3 “矩”

學過概率的都知道，我們上面計算的就是期望：

其實這就是“矩”：

因為 是一次冪，所以也稱為“一階矩”。

再比如方差：

其中的距離 也需要稱量之后才能使用，所以方差也稱為“二階矩”。

“三階矩”、“四階矩”、“高階矩”，各有用途，但是共同的特點就是稱量之后才能使用。

 

轉自或參考：https://www.matongxue.com/madocs/412/