概率論與數理統計（一）—— 隨機事件與概率

本文轉載自查看原文 2018-12-05 22:48 1025 課程——概率論與數理統計

隨機試驗與事件

隨機試驗：為觀察隨機現象而進行的實驗稱為隨機試驗，隨機試驗應滿足以下3個特征：

樣本空間：隨機事件所有可能的集合組成樣本空間，用Ω表示

基本事件：隨機試驗中的一個可能結果。也稱樣本點，即樣本空間中的一個元素。是最小的划分單元

事件：也稱復合事件，包含多個基本事件。是樣本空間的子集

事件域：若A、B是事件，則A、B的交、並、差也應該是事件，這些事件放在一起稱為事件域

注：基本事件中有兩個特別的事件。必然事件，用Ω表示（是不是發現跟樣本空間的表示一樣，這是因為樣本空間表示的事件是必然事件）。不可能事件，用Ø表示

事件本來就是樣本空間的子集，所以事件的關系就是集合的關系，事件的運算就是集合的運算。省略。

不相容：若A∩B = Ø，則稱A和B不相容，或稱互斥，即A、B不會同時發生

完備事件組：若A₁∪A₂∪...∪A_n = Ω，且A_i∩A_j = Ø，則稱{A₁、A₂、...A_n} 為一個完備事件組

1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫出版了《概率論基礎》，首次將概率論建立在嚴格的公理基礎上

概率的定義：

非負性：P(A) ≥ 0
規范性：P(Ω) = 1
可列可加性：任何可列的無窮個互不相容的事件A₁、A₂、...A_k....,有$$P({\cup}_{k=1}^∞A_k) = \sum_{k=1}^∞P(A_k)$$

概型即概率模型，古典概型是最簡單也是最重要的概率模型。

古典概型：試驗只有有限個可能的結果；每個基本事件發生的可能性相同。

其概率計算公式：$P(A) = \frac{A中元素的個數}{Ω中元素的個數} $

幾何概型：試驗所有可能的結果形成一個有界區域Ω；對Ω的每個子集A，試驗結果落入A的概率與A的測度S(A)成正比，而與A的位置和形狀無關。（其實就是等概率）

條件概率：在事件B發生的條件下事件A發生的概率

其計算公式$P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

根據條件概率公式很容易得到乘法公式，乘法公式：$P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)$

可以推廣到3,...,n，例如$P(A_1A_2A_3)=P(A_1)·P(A_2|A_1)·P(A_3|A_2A_1)$

對Ω進行一個划分{B₁、B₂,...B_n}(當然也可以是無限個)，B₁∪B₂∪...B_n = Ω，且B_i∩B_j = Ø，即{B₁、B₂、...B_n} 是一個完備事件組。P(B_i) > 0,即這個子集非空。

$P(A)\\=P(A\cdot \Omega)\\=P(AB_1\cup AB_2\cup ... \cup AB_n)\\=\sum _{i=1}^nP(AB_i)\\=\sum_{i=1}^nP(B_i)\cdot P(A|B_i)$

全概率公式表示事件A發生的概率等於各因種原因發事件A的總和，而貝葉斯公式則是已知事件A發生，求從某種原因下發生事件A的概率。公式本身並不難，但需要多加運用才能熟練。

$P(B_j|A)\\=\frac{P(B_jA)}{P(A)}\\=\frac{P(B_j)\cdot P(A|B_j)}{P(A)}\\=\frac{P(B_j)\cdot P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^nP(B_i)\cdot P(A|B_i)}$

通常將$P(B_i)$稱為先驗概率，$P(A|B_i)$稱為后驗概率

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