尋找最值
在上篇文章曲線構圖中，我們可以非常容易地從圖上找到函數的最值點。想要求得一個函數的最值點，自然會聯想到通過構圖尋找，但是構圖並不是一個輕松的過程。觀察最值點在函數曲線上的位置，可以得出結論：最值點可能存在於臨界點、無限遠端或駐點。因此僅需要知道這幾個點便可以知道函數的最值點。
正方形的最大面積之和
很多情況下最值問題會以文字敘述的形式出現，下面是一個典型的例子：
將一段長為1米的繩子剪成兩段，每段圍成一個正方形，這兩個正方形的最大面積之和是多少？
利用初等代數知識，設其中一段繩長為x米，則另一段是1-x，隱含約束是0 < x < 1
兩個正方形的面積之和S = (x/4)2 + ((1 – x)/4)2 = (2x2 – 2x + 1)/16
邊界值：當x→0+, S → 1/16； x→1-, s → 1/16
開始尋找駐點。
唯一駐點x0 = 1/2，駐點值S(x0) = 1/32
由於知道S是一個拋物線，所以可以確定駐點值就是最小值；最大值應當在拋物線兩端，根據x的定義域，S的極限值是1/16，結合實際就是：其中一段繩子越短，兩個正方形的面積之和最大。
盒子的最小表面積
固定容積的無頂蓋的盒子，盒子底部是正方形，使其表面積最小是多少？
如上圖所示，設盒子的底邊x，高為y，則體積V = x2y，表面積S = x2 + 4xy
由於體積固定，將y用x表示，y=V/x2，S = x2 + 4V/x
這里含的條件是 0 < x < +∞，當x→0+, S → +∞； x→+∞, S → +∞
邊界值沒有指望了，尋求駐點：
有唯一駐點：
表面積的最小值就是3×21/3V2/3
這個表達式太長了。我們注意到在駐點x和y是跟體積有關的定值：
這就是答案，當x/y=2時，表面積最小。
解法2，使用隱函數微分法
V = x2y， S = x2 + 4xy
最短時間
一輛汽車從小路上的某一點開往高速路盡頭的工廠，汽車在小路上和高速的速度是30和60。假設小路上處處可走，且能夠隨意進入高速，如果汽車要在最短時間內到達工廠，應該從哪里進入高速？
首先將其轉化成數學模型：
高速路段BE的長度是b，汽車從C點進入高速，問題轉換為求最佳的x。A到E的總時間：
當t’ = 0時，耗時最短，此時a2 = 3x2，所以x = 3-1/2a耗時最短。
然而這並不是全部答案，如果x > b，那么直接走直線就是最短的耗時。
相關變率
相關變率是微積分在實際問題中的一類應用，求解的是變化率問題，通常很有趣。在求解最小表面積時，我們最后使用了隱函數微分法求解，使答案直指目標，在相關變率問題中，繼續嘗試隱函數微分法。
汽車測速
路段的限速為100km/h，交警手持測速設備在距公路垂直距離為30米的地方對過往車輛測速。一輛汽車在該公路上行駛，測速設備探得該汽車現距離交警50米，以80km/h的速度接近交警，該車是否正在超速行駛？
根據題目可以得到下面的模型：
直角三角形的三邊都是已知的，一個隱藏的因素是時間t，隨着時間的變化，D和x都將發生變化。汽車對於交警的速度相當於距離D對於時間t的導數，汽車在公路上的速度相當於x對於t的導數。可使用隱函數微分法求解：
汽車未超速。
水平面上升速度
圓錐體的底面半徑為4m，高為10m，以2m3/sec的速度向圓錐體注水，在高5m處，水平面上升的速度是多少？
首先將題目進行一次轉換，將水深5m的圖形畫出來，但是再次使用圓錐體已經沒有多大意義，只需要圓錐的橫截面即可。由此可以把圖形轉化為直角三角形：
一個已知條件是注水速度，速度相當於水量對於時間的導數，要求解的是水平面高度對於時間的導數。
r和h已知，r=2h/5，利用體積公式，通過隱函數微分法：
答案是(1/2π)m/sec
懸掛模型
有一根固定長度的繩子，繩上穿有一個可移動的重物。把繩子兩端固定，重物將自然下垂，問題是，重物下垂點是什么？
題目中有兩個隱含的常量，繩長和兩個端點的位置。這很明顯要用到橢圓的知識，當繩子兩端都在水平面上時，可以得到下面的幾何模型：
△ACB是等腰三角形，AB和AC已知，很容易知道C的位置。
然而實際問題往往不這么簡單，AB通常不在水平面上，我們將得到一個傾斜的橢圓：
這下有點難度了。
如果我們把橢圓想象成一個密閉的容器，C點看作一個小鋼珠，那么無論怎樣傾斜這個橢圓，小鋼珠都將滑落到橢圓的最低點，也就是切線為0的點。
現在設C點的坐標為(x, y)，C就是橢圓曲線的駐點，約束公式是橢圓曲線的公式，我們又可以使用隱函數微分法了。
這似乎沒有問題，但實際操作時會發現，由於橢圓是傾斜的，我們不得不引入一些其他變量，這使得該方法異常麻煩，以至於一開始就放棄了。必須想辦法把約束公式轉換為更簡單的模型：
如上圖所示，引幾條輔助線，形成兩個直角三角形，並且PC⊥切線。設A點的坐標是(0,0)，B點坐標為(a,b)，由此可知P和Q的坐標分別是(x,b)，(x,0)，QA=x，QC=-y，PC=b-y，PB=a-x；設繩長為L，於是約束公式變成了：
可以使用隱函數微分法了，此處分開計算。
1) 設u=x2+y2，根據鏈式求導法則：
2) 設u=(a-x)2+(b-y)2，根據鏈式求導法則：
1)和2)的求導都反復使用了鏈式求導法則。
3) 結合約束公式：
看上去很復雜，但是由於C點是駐點，所以y’=0，代入上式后：
這就是答案了，它展示了xy與ab的關系，但是太過復雜，嚴重懷疑在實際應用中是否有價值。
代數上太復雜了，可以看看它的幾何意義。
如果把等式代入上圖，那么得到下面的結果：
這就是有意義的結果了。
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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