線性近似
假設一般函數上存在點(x0, f(x0))，當x接近基點x0時，可以使用函數在x0點的切線作為函數的近似線。函數f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x- x0)即稱為函數f在x0點的線性近似或切線近似。
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x- x0)
公式來源
導數的定義：
左右兩邊同時乘以x-x0，並去掉極限符號：
在x≈x0=0時
幾何意義
線性近似求解的是近似值，其幾何意義是在基點的切線近似於原函數的曲線。
以f(x)=lnx為例，根據公式，在x0=1，lnx≈x-1，曲線和切線如下圖所示：
在x0=1點附近，曲線近似於直線，x越接近x0，二者的近似度越高。在討論近似時，只有指定基點才有意義。這很容易理解，x越遠離x0，曲線和直線的差距越大；同時，當基點不同時，切線的斜率也不同。
常用線性近似
x0=0
以下是上述線性近似的幾何意義：
sinx≈x
cosx≈1
ex≈x+1
ln(x+1)≈x
(1+x)n≈1+nx,n=2
化繁為簡
例1：ln(1.1) = ?
這需要計算器了，但實際工作中往往只需要尋找近似值。
如果設x=0.1，則 ln(1.1) = ln(1+x)，當x≈0時，ln(1+x) ≈ x，在此， 我們認為0.1接近於0，ln(1.1) = ln(1+x) ≈ x = 0.1
0.1是否接近於0，這是個及其主觀的判斷，要視具體問題而定。某些時候，0.1可能距離0很遠，另一些時候，10也可能距離0很近。
例2：在x≈0時，
這不需要計算器，直接將代入x=0即可，結果為1。然而這種方法太過簡陋，如果判斷x=0.1≈0，就需要一個更精確的結果，不能直接將0代入。
還是使用線性近似的思路，首先需要把式子轉換成我們認識的寫法：
當x≈0時，根據公式f(x) ≈ f'(0)(x) + f(0)，重點是計算f’(0)：
對這個長長的式子求導非常麻煩，涉及到多個求導法則，我們希望用簡單的方式求解。
對於本例來說，非常幸運，我們已經知道x≈0時 ex≈1+x，xn≈1+nx，代入本例：
當x≈0時，高階函數3x2/2≈0，隨着x→0，3x2/2更快地趨近於0，所以上式可舍棄高階函數：
通過這兩個例子可以看出線性近似的作用——化繁為簡。等號左側的式子是繁，比如ln1.1和
，通過線性近似將其轉化為簡單的式子，0.1和1-7x/2
在轉換過程中當然會損失一些精度，但絕大多數時候我們都無需得到精確的解，例如在x=0.0001的時候，原式的計算量相當大，化簡后將極大地簡化計算，而付出的代價相當少，幾乎可以忽略；某些時候甚至根本無法得到精確解，比如無理數的計算。取而代之，我們求得可接受的近似解，通過近似解化繁為簡。
化繁為簡的思路也貫穿於整個數學，后續我們將看到，在求解復雜問題時，采取的方法幾乎都是不斷尋找近似、舍棄。
在利用計算機尋找最優解時，幾個常用的算法是爬山法、模擬退火算法、遺傳算法，這些算法都是采用化繁為簡的思路，舍棄全局最優解，尋找可以接受的較好解，故每次得到的結果都會稍有偏差。
二階近似
公式
幾何意義
二階近似的幾何意義是最接近原函數的拋物線，它比線性近似更為精確。
以f(x)=ln(1+x)為例，根據公式，在x0=0，
曲線如下：
ln(1+x)≈x-x2/2
對比線性近似可以看出，二階近似在基點附近更貼近原函數。
為什么會出現1/2
為什么會出現1/2呢？
二級近似的幾何意義是最接近曲線的拋物線，如果原曲線本身就是拋物線，則二階近似就是原曲線本身。
原函數f(x) = a + bx + cx2
f’(x) = b + 2cx
f’’(x) = 2c
當x = 0時，
f(0) = a, f’(0) = b , f’’(0) = 2c
二階近似 f(x) ≈ a + bx + 2cx2/2 = a + b + cx2
這就是出現1/2的原因，當然，僅當f(x) = a + bx + cx2時才能如此精確。
常用二階近似
x0=0
以下是上述線性近似的幾何意義：
sinx≈x
cosx≈1-x2/2
ex≈1+x+x2/2
ln(1+x)≈x-x2/2
示例
在x≈0時，e-3x(1+x)-1/2=?
根據ex≈1+x+x2/2 和 (1+x)n≈1+nx+n(n-1) x2/2
e-3x(1+x)-1/2≈(1-3x+(-3x/2)2)(1-x/2+(-1/2)(-3/2)x2/2)
舍棄3階和4階函數，e-3x(1+x)-1/2≈1-7x/2+51x2/8
總結
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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