多元復合函數二階導數與向量微積分的思考 引入 對於形似\(z=f(u_1,u_2,...,u_n),\)其中\(u_i=g_i(x_i)\)的多元復合函數，對其二階導數的考察常常會經過繁瑣而重復的運算，且容易在連續運用鏈式法則時犯錯。本文將提出該類題型的通解以及理論推導過程供參考。 例1：設 ...

令 $f(x)$ 是一個單調遞減或單調遞增的連續函數，現在來估計和式 $\sum_{j=1}^nf(j)$ 的值。 可以通過積分來近似求和，得出上下界如下： 如果 $f(x)$ 單調遞減，那么有 $$\int_m^{n+1}f(x)dx \leq \sum_{j=m}^n f(j) \leq ...

　　定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。這里應注意定積分與不定積分之間的關系：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函數表達式，它們僅僅在數學上有一個計算關系（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關系都沒有！一個函數，可以存在不定積分 ...

　　不是所有被積函數都能解析地寫出原函數。對於那些可能寫出來的函數，也需要一定的積分技巧才能隨心所欲，分部積分正是其中很重要的一種技巧。 基本公式 　　部分積分演變自積分的乘法法則： 示例1 　　看起來很難對付，現在嘗試用部分積分解決。 　　令u = lnx，u’ = (lnx ...

1 一階線性近似 函數 f(x) 的一階導數為 ，使用較小變化量代替微分量得 ，令 ，， 進一步整理得 ，當已知 ，則可以求解 的一階近似解為 y。 2 求解近似解 1）函數 ，求解 f(11) ？ 已知 f(9) = 3，使用線性 ...

微積分第一基本定理 　　如果F’(x) = f(x)，那么： 　　如果將F用不定積分表示，F =∫f(x)dx，微積分第一基本定理可以看作為是兩個不定積分賦予特定的值，再用符號連接起來，計算具體的數值。 　　這里引入一個新符號： 　　於是： 示例1 　 示例 ...

微積分第二基本定理 　　這里需要注意t與x的關系，它的意思是一個函數能夠找到相應的積分方式去表達。如果F’=f，則： 　　下面是第二基本定理的證明。 　　證明需要采用畫圖法，如上圖所示，曲線是y=f(x)，兩個陰影部分的面積分別是G(x)和ΔG(x)，其中： 　　當Δx足夠 ...

　　在流體運動中，通量是單位時間內流經某單位面積的某屬性量，是表示某屬性量輸送強度的物理量。在大氣科學中，包含動量通量、熱通量、物質通量和水通量。 　　本章關於向量和點積的相關知識課參考《線性代數筆記3——向量2（點積）》。 通量 　　通量實際上是一種線積分。如果有一條平面曲線C和這個平面 ...