令 $f(x)$ 是一個單調遞減或單調遞增的連續函數，現在來估計和式 $\sum_{j=1}^nf(j)$ 的值。
可以通過積分來近似求和，得出上下界如下：
如果 $f(x)$ 單調遞減，那么有
$$\int_m^{n+1}f(x)dx \leq \sum_{j=m}^n f(j) \leq \int_{m-1}^nf(x)dx$$
如果 $f(x)$ 單調遞增，那么有
$$\int_{m-1}^{n}f(x)dx \leq \sum_{j=m}^n f(j) \leq \int_{m}^{n+1}f(x)dx$$.
例子
1、求 $\displaystyle j^k,\ k\geq 1$.
解：由於 $j^k$ 是遞增的，由上面的公式有
$$\int_0^nx^kdx \leq \sum_{j=1}^nj^k \leq \int_1^{n+1}x^kdx$$
即 $\frac{n^{k+1}}{k+1} \leq \sum_{j=1}^nj^k \leq \frac{(n+1)^{k+1}-1}{k+1}$.
由確界的定義，我們有 $\sum_{j=1}^k = \Theta (n^{k+1})$.
2、求調和級數 $H_n = \sum_{j=1}^n\frac{1}{j}$
解：同樣由公式
上界：$\sum_{j=1}^n \frac{1}{j} = 1 + \sum_{j=2}^n \leq 1 + \int_{1}^n\frac{dx}{x} = 1 + ln\ n$，
下界：$\sum_{j=1}^n\frac{1}{j} \geq \int_1^{n+1}\frac{dx}{x} = ln(n+1)$.
由確界的定義，$H_n = \Theta(log\ n)$.
3、求級數 $\sum_{j=1}^nlog \ j$.
解：
上界：$\sum_{j=1}^n log \ j = log \ n + \int_{1}^nlog \ j \leq log \ n + nlog \ n - nlog\ e + log \ e$.
下界：$\sum_{j=1}^n log \ j= \sum_{j=2}^n log \ j \geq \int_{1}^n log \ xdx = nlog\ n - n log\ e + log\ e$.
由確界的定義有 $\sum_{j=1}^n log \ j = \Theta (nlog \ n)$.
如果對兩邊取指數，可得到階乘的近似公式
$$e(\frac{n}{e})^n \leq n! \leq ne(\frac{n}{e})^n$$
這和String公式已經相當接近了。