積分入門
積分是把片相加來求整體。
積分可以用來求面積、體積、中點和很多其他有用的東西。要了解積分，最簡單是從求 函數曲線下面的面積開始。像這樣：
片
我們可以求函數在幾點的值，然后把寬度為Δx的片的面積加起來（但答案不會很精確）：
我們可以使 Δx 非常小，然后 把很多片的面積加起來（答案比上面的好一點）：
當片的 寬度趨近零時，答案也趨近正確的面積。
我們用 dx 來代表趨近零的寬度 Δx。
有很多塊片要相加！
可是，我們不需要做加法，有個 "捷徑"。因為……
…… 求積分與求導數是相反的。
（所以你需要先了解 導數！）
如下：
記法
"積分" 的符號像英語字母 "S"
（源自英語 "Sum"（總和））：
把要求積分的函數（叫被積函數）放在積分符號后面，
最后放 dx 來代表積分的方向是 x（片沿 x 的寬度趨近零）。
我們這樣寫答案：
加 C
答案我們已經寫了 x2，但為什么要加個 + C？
這個叫 "積分常數"。我們需要把它寫上，因為有很多函數的導數都是 2x：
x2+4 的導數是 2x，x2+99 的導數也是 2x，…… ！因為常數的導數是零。
當我們把計算 倒轉 來求積分時，我們只知道 2x，但其實答案可以有任何一個常數。
所以我們需要在答案后面加上 + C。
定積分與不定積分
我們上面做的都是不定積分。
定積分 有下限和上限的值（寫在 "S" 符號的下面和上面）：
積分法則
積分 可以用來求面積、體積、中點和很多其他有用的東西。它時常是用來求 函數曲線下面的面積的方法。像這樣：
很多函數的積分都是眾所周知的，也有很多有用的法則來幫助我們去求較為復雜的函數的積分，包括在下面列出的一些法則。
| 常用函數 | 函數 | 積分 |
|---|---|---|
| 常數 | ∫a dx | ax + C |
| 變量 | ∫x dx | x2/2 + C |
| 平方 | ∫x2 dx | x3/3 + C |
| 倒數 | ∫(1/x) dx | ln|x| + C |
| 指數 | ∫ex dx | ex + C |
| ∫ax dx | ax/ln(a) + C | |
| ∫ln(x) dx | x ln(x) − x + C | |
| 三角法 （x 的單位是 弧度） | ∫cos(x) dx | sin(x) + C |
| ∫sin(x) dx | -cos(x) + C | |
| ∫sec2(x) dx | tan(x) + C | |
| 法則 | 函數 |
積分 |
| 乘以常數 | ∫cf(x) dx | c∫f(x) dx |
| 冪次數法則 (n≠-1) | ∫xn dx | xn+1/(n+1) + C |
| 和法則 | ∫(f + g) dx | ∫f dx + ∫g dx |
| 差法則 | ∫(f - g) dx | ∫f dx - ∫g dx |
分部積分法
分部積分法是一個特別的積分方法，最適用於積分兩個函數的積，但在其他的情況下也會有用。
下面會有很多例子，但我們先來看看法則：
\(∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx\)
- \(u 是函數 u(x)\)
- \(v 是函數 v(x)\)
圖：
換元積分法
定積分
弧長
