狹義積分(區別於廣義積分)即黎曼積分，它的定義為：函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 有定義，在區間 $[a,b]$ 上插入 $n-1$ 個分點，使其分成
$n$ 個小區間 $[x_{i-1},x_{i}], i=1,2,3,...,n$，任取一點 $\xi_{i} \in [x_{i-1},x_{i}]$，做和式
$$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(x_{i} - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$$
設 $\lambda$ 為所有小區間的最大長度，即 $\lambda = max\left \{ \Delta x_{1}, \Delta x_{2},...,\Delta x_{n} \right \}$。
當分割越來越“精細”的時候，即 $\lambda \rightarrow 0,n\rightarrow +\infty$，分割后的每個小條就可以看作矩形，考慮式子
$$\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$$
如果上式值存在，且此極限不依賴於區間 $[a,b]$ 的分法，也不依賴於點 $\xi_{i}$ 的取法，則稱此極限為 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的定積分，記為
$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i} = \sum_{i=1}^{+\infty}f(\xi_{i})\Delta x_{i}, \xi_{i} \in [a,b]$$
定積分的定義體現了逼近的思想：函數的圖形是不規則的，而我們的目的是用簡單的、規則的、已知的知識去求它的面積，於是采用無窮分割區間
的辦法，將每一個划分出來的小條無限逼近一個矩形，這樣的面積就很好求，這種逼近過程是無窮無盡的，但我們總能越來越接近真相。分割越精
細，計算出來的面積誤差越小，那么可以認為，無限分割時，這個誤差就是無窮小的，即誤差是一個無窮小量，無窮小量是個變小的過程，可能是
序列，也可能是函數，而不能直接視作 $0$，那既然還是有誤差，那么定積分是不是精確的呢？
沒有引入極限定義之前，定積分是不嚴謹的，定義極限的其中一個主要目的就是為了使原先那套不嚴謹的微積分嚴格化。
無窮小量與 $0$ 無法划等號，但是取了極限 $lim$ 符號就行，即
$$\lambda \rightarrow 0$$
$$\lambda \neq 0$$
$$\lim_{}\lambda = 0$$
$\bullet$ 積分形式和累加形式做一個比較：
1）$dx$ 和 $\Delta x$ 都是無窮小量，絕對值表示小閉區間的長度，無限趨於0。不同的是 $dx$ 是一個矢量，有方向，如果積分限 $a < b$，則 $dx > 0$，否則 $dx < 0$，
而 $\Delta x$ 是一個標量，為正，大小也趨於 0。
2）$x$ 是積分變量，相當於 $\xi$。區間無窮分割后，在每個小矩形的底上可以任取一點，用以計算對應函數值 $f(x)$。極限情況下，$x$ 或 $\xi$ 取
遍區間內的每一個點，所以 $x$ 或 $\xi$ 的范圍就是積分的區間。
3）符號 $\int_{a}^{b}$ 表示在區間 $[a,b]$ 上極限求和，它不僅表示無窮項求和，還限定了區間和積分方向，而 $\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n} = \sum_{i=1}^{+\infty}$ 只
是表示量級是無窮項累加，並不知道是哪個區間。
$\bullet$ 那什么樣的累加和形式可以寫成積分形式呢？設累加變量為 $i$。
1）無窮項累加
2）函數和無窮小量乘積
3）函數的自變量是關於累加變量 $i$ 的函數，可以取遍整個定義區間。
如此，便可以自變量為積分變量，定義區間為積分限，寫成定積分。
$\bullet$ 定積分的幾何意義：設在區間 $[a,b]$ 上 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在($a < b$)，則
1）若 $f(x) > 0$，則 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 等於以曲線 $y=f(x),x=a,x=b$，及 $x$ 軸所圍成的曲邊梯形的面積。
2）若 $f(x) < 0$，則積分值表示面積的負值。
3）若 $f(x)$ 有正有負，則積分值表示 $x$ 軸上方圖形的面積減去下方圖形的面積之差。
$\bullet$ 那么什么樣的 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上是可以做定積分的呢？直觀來看，定積分的絕對值表示面積，那想要可積分，則所圍成
的圖形應該具有有限的面積。下面是一些可積的充分條件或必要條件，很明顯即使含有間斷點，所圍成的圖形也都是有限面積。
1）若$\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在，則 $f(x)$ 在區間內有界。
2）若 $f(x)$ 在區間內連續，則 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在。
3）若 $f(x)$ 在區間內有界，且只有有限個間斷點，則 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在。
4）若 $f(x)$ 在區間內只有有限個第一類間斷點，則 $\int_{a}^{b}f(x)dx$ 存在。
$\bullet$ 無窮項累積和是沒法計算的，但定積分是可以計算的，使用的是牛頓萊布尼茲公式：若函數 $F(x)$ 是連續函數 $f(x)$ 在區間
$[a,b]$ 上的一個原函數，則有
$$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$$
我們知道含第一類間斷點的函數是不存在原函數的，而只有有限個第一類間斷點的函數又是可積的，那是否矛盾呢？
並不沖突，含有第一類間斷點的函數可以通過分區間積分(不分的話也做不了)，從而最終所積的那個函數一定是存在原函數的。
牛頓萊布尼茲公式很容易通過變上限積分函數來證明，這里不講述。