积分入门
积分是把片相加来求整体。
积分可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。要了解积分，最简单是从求 函数曲线下面的面积开始。像这样：
片
我们可以求函数在几点的值，然后把宽度为Δx的片的面积加起来（但答案不会很精确）：
我们可以使 Δx 非常小，然后 把很多片的面积加起来（答案比上面的好一点）：
当片的 宽度趋近零时，答案也趋近正确的面积。
我们用 dx 来代表趋近零的宽度 Δx。
有很多块片要相加！
可是，我们不需要做加法，有个 "捷径"。因为……
…… 求积分与求导数是相反的。
（所以你需要先了解 导数！）
如下：
记法
"积分" 的符号像英语字母 "S"
（源自英语 "Sum"（总和））：
把要求积分的函数（叫被积函数）放在积分符号后面，
最后放 dx 来代表积分的方向是 x（片沿 x 的宽度趋近零）。
我们这样写答案：
加 C
答案我们已经写了 x2，但为什么要加个 + C？
这个叫 "积分常数"。我们需要把它写上，因为有很多函数的导数都是 2x：
x2+4 的导数是 2x，x2+99 的导数也是 2x，…… ！因为常数的导数是零。
当我们把计算 倒转 来求积分时，我们只知道 2x，但其实答案可以有任何一个常数。
所以我们需要在答案后面加上 + C。
定积分与不定积分
我们上面做的都是不定积分。
定积分 有下限和上限的值（写在 "S" 符号的下面和上面）：
积分法则
积分 可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。它时常是用来求 函数曲线下面的面积的方法。像这样：
很多函数的积分都是众所周知的，也有很多有用的法则来帮助我们去求较为复杂的函数的积分，包括在下面列出的一些法则。
| 常用函数 | 函数 | 积分 |
|---|---|---|
| 常数 | ∫a dx | ax + C |
| 变量 | ∫x dx | x2/2 + C |
| 平方 | ∫x2 dx | x3/3 + C |
| 倒数 | ∫(1/x) dx | ln|x| + C |
| 指数 | ∫ex dx | ex + C |
| ∫ax dx | ax/ln(a) + C | |
| ∫ln(x) dx | x ln(x) − x + C | |
| 三角法 （x 的单位是 弧度） | ∫cos(x) dx | sin(x) + C |
| ∫sin(x) dx | -cos(x) + C | |
| ∫sec2(x) dx | tan(x) + C | |
| 法则 | 函数 |
积分 |
| 乘以常数 | ∫cf(x) dx | c∫f(x) dx |
| 幂次数法则 (n≠-1) | ∫xn dx | xn+1/(n+1) + C |
| 和法则 | ∫(f + g) dx | ∫f dx + ∫g dx |
| 差法则 | ∫(f - g) dx | ∫f dx - ∫g dx |
分部积分法
分部积分法是一个特别的积分方法，最适用于积分两个函数的积，但在其他的情况下也会有用。
下面会有很多例子，但我们先来看看法则：
\(∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx\)
- \(u 是函数 u(x)\)
- \(v 是函数 v(x)\)
图：
换元积分法
定积分
弧长
