作者：桂。
時間：2018-01-27 19:58:10
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前言
主要記錄幾種復數相位計算的方法，暫未做進一步的比較分析。
一、逼近簡述
復數相位估計的問題可表述為：
已知z = x+iy，arctan(y/x) = ？
復數相位估計，指標主要有三個：1）運算量；2）處理時間；3）估值精度。
相位估計算法大致可分為三類：
- 級數展開：如taylor展開
- 迭代求解：如CORDIC
- 有理函數逼近：如pade逼近
常用的CORDIC算法特點是消耗資源少，但當精度要求較高時需要多個迭代周期，典型的以時間換空間，消耗的內存少。taylor級數展開：
或者euler展開：
但利用級數無窮項展開，需要的乘法器資源巨大，即使舍去高階項也需要較多階數，工程應用不理想，且展開式可能僅局部收斂。取而代之的思路是：做一個LUT，將計算得到的x/y做插值處理，以相位誤差小於1e-4rad為例，需要內存（數據取18bit）約為：31415*18/8/1024 = 69kb。更常用的一個思路是，利用arctan的基本性質：
從而將x的求解縮小至abs(x)<=1的范圍，這樣做LUT需要的內存則更少。
對於多項式逼近（注意：逼近分最佳一致逼近、最佳有理逼近，不在展開）的思想，多項式逼近的知識屬於：數值分析的范疇，可系統學習該學科知識來掌握，推薦較多的教材為：
利用pade近似，可得到arctan的逼近公式：
該逼近的效果：whose maximum error is on the order of 0.003 degrees when | θ | ≤ π /4 radians ，當然也可以更低/高階次。
syms x func = (x + 0.372003*x^3)/(1+0.703384*x^2+0.043562*x^4); taylor(func,'order',5) taylor(atan(x),'order',5)
關於常用公式的工程快速計算，可參考劍橋出版社的：
二、幾種常用算法
A-文獻： Another Contender in the Arctangent Race
主要思想仍然是pade逼近：
進一步化簡：
其中I、Q是復數的實、虛部，對於4個象限，利用arctan的特性均分8個區域：
不同區域的求解思路：
該算法僅需要3個實數乘法和一次除法即可完成求解，缺點是估計誤差較大：
B-文獻：Efficient Approximations for the Arctangent Function
本文仍然是多項式逼近的思想，借助朗格朗日插值、minmax優化（感覺它這里的優化就是在暴力搜索），得到逼近函數。一階近似：
最大誤差為0.22°。考慮提高精度，可增加逼近的階次，三次為例：
三階需要1次除法、3次乘法。該結果相比A文獻的方法，誤差更小。A文獻對應（10），B文獻對應（9）：
C-文獻：Fast Computation of arctangent Functions for Embedded Applications: A Comparative Analysis
四個象限的計算：
首先造1個表，文中給出的size = 100，主要算法框圖：
LUT基礎上，借助線性插值，完成相位估計：
該算法需要1次除法、1次乘法，考慮到時序，若不對I、Q的大小做判斷，可同時計算Q/I 、I/Q除法器為2個，上面的其他算法也是如此。
D-文獻：Fast- and Low-Complexity atan2(a,b) Approximation
令c = b + ja，從正弦函數切入：
通過定位極值點即可估計theta：
前提是T已知，作者假設均勻采樣的采樣周期T = 4（即每個周期內采樣4個點，b a -b -a）:
利用梯度為零，定位極值點，經過推導，作者得出（fr為極值點位置的近似）：
p(1)、p(0)對應函數的離散采樣：
不同象限的對應關系：
atan的近似公式為：
其中，offset = 2*not(b0)+not(xor(b1,b0))，用該方法估計相位，最大角度誤差為±4.07°，因此作者在這一步的基礎上，添加查表修正（second-stage），整個的算法框圖為：
測試code：
表格尺寸與估值精度：
該算法提供了相位粗估計 + 精估計的實現思路，除了第一步的粗估計，作者給出了理論解釋，個人覺得該算法工程實現意義不大。b/a or a/b之后直接查表，在精度0.001°的情況下，直接查表的LUT也就4kb左右（視有效位數而定）。