1 一階線性近似
函數 f(x) 的一階導數為 
，使用較小變化量代替微分量得 
，令 
，
，
進一步整理得 
，當已知 
，則可以求解 
的一階近似解為 y。
2 求解近似解
1）函數 
，求解 f(11) ？
已知 f(9) = 3，使用線性近似得 
。
2）函數 
，求解 f(.99) ?
已知 f(1) = 0，使用線性近似得 
。
3 常用函數的一階近似(x 在 0 附近）
4 一階線性近似誤差
原函數使用泰勒級數展開為 
，
誤差函數可表示為 
，
由於 
遠大於 
，誤差函數可近似表達為 
，
當 
時，線性近似值低於真實值；當 
時，線性近似值高於真實值。
5 雅可比矩陣
當函數輸入輸出變量均為向量時，已知 
，求解 
附近 
的線性近似值？
類似的，有 
，其中 
表示函數 在 
處的一階偏導構成的矩陣，即為雅可比矩陣。
令 
，
，函數 
可改寫方程組 
，
分別求解方程組中每一個函數的一階近似為 
，
整理成矩陣形式為 
，
，
附近 的線性近似值可表示為 
。
6 牛頓法求解方程
給定方程 f(x) = 0，由於並不是每一個方程都可以輕松求解准確解，可以使用牛頓法求解近似解。方法如下：
1）找到一個猜測解，記錄為 
，給出該點處線性方程為 
；
2）尋找線性方程在 X 軸上交點位置 
，一般情況下，該交點位置是方程 f(x) = 0 的一個更好的近似解；
3）重復 2）直到 
足夠接近 0 為止。
牛頓法並不一定能夠迭代出足夠精確的解，當第一個猜測解位置較遠時，可能無法得到一個正確的解。猜測解的主要原則是猜測解與真實解區間的一階導數符號一致，且比較接近。
以下某些情形，可能導致牛頓法失效，主要包括：
1）
接近 0，迭代過程 使得 
無限遠離 
；
2）f(x) = 0 存在多個解，使得收斂解與期望解不一致；
3）其他一些無限循環情況；
總之，在迭代過程中需要判斷迭代解收斂情況，根據收斂情況判斷是否可以通過牛頓法尋找近似解。
7 高階近似
使用一階線性近似時，其誤差值為 ，為了得到一個更加精確的近似值，可以使用二階近似，公式如下：
，其近似誤差為 
。
令 
， 
，
一階近似可表示為 
, 對函數求導數得 
，由於 
，得 
；
二階近似可表示為 
，對函數求二階導數得 
，由於 
，得 
；
同理，可以求得N階近似各項系數為 
。
參考資料 The Calculus Lifesaver Adrian Banner