更新時間：2019.10.27
增加補充項中的內容
1. 序言
之前總結了一下latex的公式輸入。但是俗話說得好，巧婦難為無米之炊
。如果想要輸入復雜的數學公式，光知道公式輸入的方式是遠遠不夠的，我們還需要了解公式中常用的組成部分。
2. 上下標
數學公式中的字母經常是帶上標（冪/轉置/導數等）和下標（矩陣元素位置/參數個數等）的，而用latex解決這個問題十分簡單。可以使用^表示上標，使用_表示下標。當然要值得注意的是，當上下標的有多個（2個及以上）字符時，要用{}括起來。
<!--來直接看幾個例子-->
$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2$$
$$a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0$$
顯示效果：
- tip1：有時我們想使用的標記在字母的正上方，例如\(\bar X\)。這種無法直接用上下標來表示，需要使用其他的方法。
- tip2：在這里列舉一些常用的用法：
- \(\bar X\)(X拔)的表示方法是：
$\bar X$，這個通常是用來表示變量的均值 - \(\hat Y\)(Y帽)的表示方法是：
$\hat Y$，這個通常是用來表示變量的預測值 - \(\underline X\)的表示方式是：
$\underline X$，可以用來表示下限 - 還有其他像\(\widetilde X\)的表示方式是：
$\widetilde X$
- \(\bar X\)(X拔)的表示方法是：
- tip3：例子中使用了一些希臘字母，可以直接跳轉到下面進行查看常用的希臘字母
3. 分式
直接使用\frac{}{}來表示分式，其中第一個{}表示分子，第二個{}表示分母
$$f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}$$
顯示效果：
4. 根式
直接使用sqrt[]{}來表示分式，其中[]用來放開方的次數，{}用來放要被開方的公式
$$f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}$$
顯示效果：
5. 求和和連乘
對於連加的情況，我們通常使用\(\sum\)來表示。它的使用用法也很簡單，但是通常都要添加上下標，像$\sum_{}^{}$形式。除了連加，我們有時也使用連乘，雖然沒有連加使用得多（連乘都能通過對數寫成連加），它只要以$\prod_{}^{}$的形式表示。
<!--連加-->
$$\sum_{i = 1}^{n}x_i$$
<!--連乘-->
$$\prod_{i = 1}^{n}x_i$$
顯示效果：
- tip1：在latex中，默認情況下行內公式都是顯示像\(\sum_{i=1}^na_{ij}\)的效果，如果想要這樣的效果\(\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}\)，就需要在前面加上
\displaystyle，來重新看一下下面的例子：
<!--連加-->
$\sum_{i = 1}^{n}x_i$
$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i$
<!--連乘-->
$\prod_{i = 1}^{n}x_i$
$\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i$
顯示效果：
\(\sum_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\prod_{i = 1}^{n}x_i\)
\(\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i\)
6. 極限
還記得高數里極限的符號嗎
。在latex中的極限表示，也直接使用\lim這個我們時常看到的符號。當然極限通常都是帶下標的，所以更多的是使用lim_{}的形式。
<!--來看看兩個重要極限-->
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$$
顯示效果：
- tip1：右箭頭\(\rightarrow\)的表示方式為
$\rightarrow$，左箭頭\(\leftarrow\)的表示方式是$\leftarrow$ - tip2：正無窮\(+ \infty\)的表示方式為
$+ \infty$，負無窮\(- \infty\)的表示方式是$- \infty$
7. 積分
如果想要輸入積分，則需要使用\int_{}^{}來表示
$$\int_0^1 x^2 dx$$
<!--來看一個更加復雜的例子-->
<!--正態分布的分布函數-->
$$F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx$$
顯示效果：
8. 常用的希臘字母
有時我們的公式里會包含一些希臘字母，而在latex中，其實只要會讀希臘字母基本就會寫出來。下面總結一些常用的希臘字母：
| 希臘字母 | 對應的代碼 | 希臘字母 | 對應的代碼 |
|---|---|---|---|
| \(\alpha\) | $\alpha$ |
\(\mu\) | $\mu$ |
| \(\beta\) | $\beta$ |
\(\sigma\) | $\sigma$ |
| \(\gamma\) | $\gamma$ |
\(\varepsilon\) | $\varepsilon$ |
| \(\theta\) | $theta$ |
\(\chi\) | $\chi$ |
| \(\zeta\) | $\zeta$ |
\(\tau\) | $\tau$ |
| \(\eta\) | $\eta$ |
\(\rho\) | $\rho$ |
| \(\xi\) | $\xi$ |
\(\psi\) | $\psi$ |
| \(\pi\) | $\pi$ |
\(\phi\) | $\phi$ |
9. 補充項
9.1 波浪線的表示
可以使用$\sim$來表示波浪線
$\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)$
顯示效果：
\(\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)\)
9.2 求導
使用$\mathrm{d}$來表示求導符號，$\partial$來表示求偏導
$\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}$
<!--直接用d來表示求導符的效果-->
$\frac {dL(\beta)}{\beta}$
<!--偏導-->
$\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}$
顯示效果：
\(\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}\)
\(\frac {dL(\beta)}{\beta}\)
\(\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}\)
9.3 垂直和平行符號
- 垂直：使用
\$perp$，效果為\(\perp\) - 平行：可以直接用
//或$//$，也可以使用$\parallel$，不過這個是顯示豎直的形式||
$//$
$\parallel$
顯示效果：
\(//\)
\(\parallel\)
9.4 把符號放在正下方
有時我們需要把文本放在正下方，這是我們就可以使用$\underset$，有時也可以使用$\limits$
$$\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)$$
$$\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)$$
顯示效果：
9.5 集合
<!--真包含-->
$$\subset$$
<!--包含-->
$$\subseteq$$
<!--屬於和不屬於-->
$$\in$$
$$\notin$$
<!--交集和並集-->
$$\cap$$
$$\cup$$
<!--其他-->
$$\mid$$
$$\supset$$
顯示效果：
9.6 成正比
使用$\propto$來表示
$f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)$
顯示效果：
\(f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)\)