傅氏變換、拉氏變換、Z變換之間到底有什么關系

本文轉載自查看原文 2016-12-15 15:42 2483 數字信號處理

作者：徐北熊
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首先，為什么要進行變換？因為很多時候，頻率域比時域直觀得多。

傅里葉級數和傅里葉變換，表明時域的信號可以分解為不同頻率的正弦波的疊加。而如果我們把兩個沒有公共頻率成分的信號相加，一同發送。在接收端接收到之后，用濾波器把兩個信號分開，就可以還原出發送的兩個信號。這就是通信過程的實質。

而在這個過程中，發送端發送出去的信號的最大頻率和最小頻率是否在接收端的帶通濾波器的上下邊界頻率之內？如果超出了濾波器的頻率范圍，接收端接收到的信號就會丟失一部分信息，接收端接收到的消息就會有錯誤。
但這個問題從時域是很難看出來的，不過，從頻率域就一目了然。

因此傅里葉變換得到了廣泛應用，它的地位也非常重要。

然而，可以進行傅里葉變換的信號似乎不那么夠用，傅里葉變換的收斂有一個狄利克雷條件，要求信號絕對可積/絕對可和。
為了使不滿足這一條件的信號，也能讀出它的“頻率”，拉普拉斯變換和Z變換，對“頻率”的含義做出了擴充，使得大多數有用信號都具有了對應的“頻率”域表達式，方便了對各個器件的設計。

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接下來一個問題，傅氏變換、拉氏變換、Z變換之間到底有什么關系？

首先，傅里葉變換粗略分來包括連續時間傅里葉變換（CTFT）、離散時間傅里葉變換（DTFT）。
CTFT是將連續時間信號變換到頻域，將頻率的含義擴充之后，就得到拉普拉斯變換。
DTFT是將離散時間信號變換到頻域，將頻率的含義擴充之后，就得到Z變換。

1、連續時間傅里葉變換與拉普拉斯變換的關系
連續時間傅里葉變換的公式是： $\int_{-\infty}^{\infty } x(t)e^{-j\omega t} dt$ ，這里的 $\omega$ 是實數。
傅里葉變換要求時域信號絕對可積，即 $\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t) \right| dt<\infty$ 。
為了讓不符合這個條件的信號，也能變換到頻率域，我們給x(t)乘上一個指數函數 $e^{-\sigma t}$ ， $\sigma$ 為任意實數。
可以發現， $x(t)e^{-\sigma t}$ 這個函數，就滿足了絕對可積的條件，即 $\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t)e^{-\sigma t} \right| dt<\infty$ 。
於是這個新函數的傅立葉變換就是： $\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} dt$ ，
化簡得 $\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-(\sigma +j\omega )t}$ 。
顯然 $\sigma +j\omega$ 是一個復數，我們把這個復數定義為一個新的變量——復頻率，記為s。
於是便得到了拉普拉斯變換的公式： $\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-st} dt$

拉普拉斯變換解決了不滿足絕對可積條件的連續信號，變換到頻率域的問題，同時也對“頻率”的定義進行了擴充。
所以拉普拉斯變換與連續時間傅里葉變換的關系是：
拉普拉斯變換將頻率從實數推廣為復數，因而傅里葉變換變成了拉普拉斯變換的一個特例。
當s為純虛數時，x(t)的拉普拉斯變換，即為x(t)的傅里葉變換。

從圖像的角度來說，拉普拉斯變換得到的頻譜是一個復平面上的函數，
而傅里葉變換得到的頻譜，則是從虛軸上切一刀，得到的函數的剖面。

2、離散時間傅里葉變換（DTFT）與Z變換的關系
DTFT的公式是 $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]e^{-j\omega n} }$ ，這里的 $\omega$ 是連續變化的實數。
同樣的，DTFT需要滿足絕對可和的條件，即 $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{\left| x[n] \right| } <\infty$ 。
為了讓不滿足絕對可和條件的函數x[n]，也能變換到頻率域，我們乘一個指數函數 $a^{-n}$ ，

為任意實數。
則函數 $x[n]a^{-n}$ 的DTFT為： $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]a^{-n}e^{-j\omega n} }$ ，
化簡得： $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n](a\cdot e^{j\omega })^{-n} }$
顯然， $a\cdot e^{j\omega }$ 是一個極坐標形式的復數，我們把這個復數定義為離散信號的復頻率，記為z。
則得到Z變換的公式： $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]z^{-n} }$ 。

Z變換解決了不滿足絕對可和條件的離散信號，變換到頻率域的問題，同時也同樣對“頻率”的定義進行了擴充。
所以Z變換與離散時間傅里葉變換（DTFT）的關系是：
Z變換將頻率從實數推廣為復數，因而DTFT變成了Z變換的一個特例。
當z的模為1時，x[n]的Z變換即為x[n]的DTFT。

從圖像的角度來說，Z變換得到的頻譜，是一個復平面上的函數，而DTFT得到的頻譜，則是沿着單位圓切一刀，得到的函數的剖面，從負實軸切斷展開的圖像。
（這個圖像比較難找，待我找一找書后補，先可以借拉普拉斯變換的圖像想象一下）。

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