1 引言
機電控制工程中經常要解算一些線性微分方程，按照一般方法解算比較麻煩。
如果用拉氏變換求解線性微分方程，可將經典數學中的微積分運算轉換為代數運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，並有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數學方法。更重要的是，采用拉氏變換后，能夠把描述系統運動狀態的微分方程很方便地轉換為系統的傳遞函數，並由此發展出用傳遞函數的零極點分布、頻率特性等間接地分析和設計控制系統的工程方法。
2 拉氏變換和反變換的定義
2.1 拉氏變換
設函數f(t)(t≥0)在任一有限區間上分段連續，且存在一正實數σ，使得：
則函數f(t)的拉氏變換存在，並定義為：
式中，s=σ+jω(σ、ω均為實數)為復變數。
F(s)稱為函數f(t)的拉氏變換或象函數，是一個復變函數，f(t)稱為F(s)的原函數。
2.2 拉氏反變換
式中，L-1為拉氏反變換符號。
拉氏變換是描述分析連續、線性、時不變系統的重要工具。
3 簡單函數的拉氏變換
3.1 單位階躍函數1(t)
拉氏變換為：
3.2 指數函數
拉氏變換為：
3.3 正弦及余弦函數
由歐拉公式：
拉氏變換為：
3.4 單位脈沖函數
拉氏變換為：
由洛必達法則：
即：
3.5 單位速度函數
3.6 單位加速度函數
3.7 冪函數
可以利用Γ-函數的性質：
令u=st，則：
3.8 拉氏變換積分下限的說明
在某些情況下，函數f(t)在t=0處有一個脈沖函數。這時必須明確拉氏變換的積分下限是0-還是0+，並相應記為：
4 拉氏變換性質
4.1 疊加定理
顯然，拉氏變換為線性變換。
4.2 微分定理
推論：
當f(t)及其各階導數在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：
當f(t)在t=0處具有間斷點時，df(t)/dt在t=0處將包含一個脈沖函數，即：
當f(0+)≠f(0-)時，則有：
4.3 復微分定理
若L[f(t)]=F(s)，則除了F(s)的極點之外，有：
4.4 積分定理
當初始條件為零時：
4.5 延時定理
4.6 衰減定理
4.7 初值定理
4.8 終值定理
4.9 卷積定理
4.10 f(t/a)的象函數
5 拉氏反變換