代數數集合是域的完整證明
代數數與超越數的定義
記 Q 為有理數集合，C 為復數集合，若 c ∈ C 在 Q 上是代數的，即存在一個非零多項式 f(x) = anxn + ... + a1x + a0， 其中 ai ∈ Q，i = 0,1,...,n，使得 f(c) = 0，則稱 c 為代數數，否則稱 c 為超越數.
記代數數集合為 A. 由代數數的定義易知 Q ⊆ A. 事實上，對任意 p ∈ Q，令 f(x) = x - p，顯然有 f(p) = 0. Q 是最小的數域. 以下開始證明全體代數數的集合構成數域.
單代數擴域是有限擴域
對任意 α ∈ A，由定義可知 α ∈ C，C/Q 是擴域，考慮 C 中所有既包含 Q 又包含 α 的子域，它們的交集是 C 的一個子集，且是包含 Q 和 α 的最小子集，記作 Q(α)，即 Q(α) 是 Q 上添加 α 得到的單代數擴域.
記 α 在 Q 上的最小多項式的次數為 n，即存在首 1 的不可約的 n 次有理系數多項式 f(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，使得 f(α) = 0，此時，在 Q 上的向量空間 Q(α) 中，1、α、α2、...、αn-1 必定是線性無關的（否則與最小多項式次數為 n 矛盾）；且由 f(α) = 0 知 1、α、α2、...、αn-1、αn 是線性相關的，因此 1、α、α2、...、αn-1 是 Q(α) 在 Q 上的一個基，且有 [Q(α) : Q] = n. 即 Q(α)/Q 是 n 維有限擴域.
若 α ∈ Q，則 α 在 Q 上的最小多項式即為 x - α，即 n = 1，此時 Q(α) = Q.
有限擴域的傳遞性：維數公式
同樣地，在上面得到的 Q(α) 上可以再添加 β ∈ A，即 C/Q(α) 是擴域，考慮 C 中所有既包含 Q(α) 又包含 β 的子域，它們的交集是 C 的一個子集，且是包含 Q(α) 和 β 的最小子集，記作 Q(α)(β)，即 Q(α)(β) 是 Q(α) 上添加 β 得到的單代數擴域.
記 β 在 Q(α) 上的最小多項式的次數為 m，即存在首 1 的不可約的 m 次多項式 g(x) = xm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0，bi ∈ Q(α)，i = 0,1,...,m-1，使得 g(β) = 0，此時，在 Q(α) 上的向量空間 Q(α)(β) 中，1、β、β2、...、βm-1 必定是線性無關的（否則與最小多項式次數為 m 矛盾）；且由 g(β) = 0 知 1、β、β2、...、βm-1、βm 是線性相關的，因此 1、β、β2、...、βm-1 是 Q(α)(β) 在 Q(α) 上的一個基，且有 [Q(α)(β) : Q(α)] = m. 即 Q(α)(β)/Q(α) 是 m 維有限擴域.
若 β ∈ Q(α)，則 β 在 Q(α) 上的最小多項式即為 x - β，即 m = 1，此時 Q(α)(β) = Q(α).
由擴域的定義可知，Q(α) 是 Q 上的 n 維向量空間，Q(α)(β) 又是 Q(α) 上的 m 維向量空間，不難理解 Q(α)(β) 是 Q 上的 mn 維向量空間，αiβj，i = 0,1,...,n-1，j = 0,1,...,m-1， 是 Q(α)(β) 在 Q 上的一個基. 即Q(α)(β)/Q 是 mn 維有限擴域，且有 [Q(α)(β) : Q] = [Q(α)(β) : Q(α)]·[Q(α) : Q] = mn.
有限擴域是代數擴域
代數擴域的定義：E/F 是擴域，如果 E 中的每一個元在 F 上都是代數的，則稱 E 是 F 的一個代數擴域.
設 E/F 是一個 n 維有限擴域，即有 [E : F] = n. 此時對任意 α ∈ E，n+1 個向量 1、α、α2、...、αn-1、αn 必定是線性相關的（否則與向量空間的維數為 n 矛盾），即存在不全為零的 ai，i = 0,1,...,n，使得 a0 + a1α + a2α2 + ... + anαn = 0，令 f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn，f(x) 是 F 上的非零多項式，且有 f(α) = 0，因此 α 在 F 上是代數的. 即有限擴域是代數擴域.
代數數集合是域
對任意 u ∈ A，v ∈ A，v ≠ 0，由上述推論可知 Q(u)(v) 是由 Q 添加兩個代數數 u 和 v 得到的代數擴域， 由域的基本性質即有 u+v, u-v, u·v, u÷v ∈ Q(u)(v).
而 Q(u)(v) 是 Q 的一個代數擴域，即對任意 α ∈ Q(u)(v)，α 在 Q 上是代數的，即有 α ∈ A. 因此有
u+v, u-v, u·v, u÷v ∈ A. 即全體代數數的集合 A 構成域.