矩陣性質總結

矩陣總結

普通矩陣

普通方陣：

性質：

1. 對角線上 的 元素 之和 等於 矩陣的跡 ，等於 特征值 的和
2. 特征值 的 乘積 等於 矩陣的行列式

特殊矩陣

對稱矩陣

滿足

\[A^T = A \]

的矩陣

性質：

1. 該矩陣一定是方陣
2. 主對角線的元素是任意的，但其他元素在主對角線的兩邊成對出現
3. 對稱矩陣的逆仍然為對稱矩陣
4. 對稱矩陣 一定 可以正交對角化

對角矩陣

性質：

1. 一定是方陣
2. 只有對角線上有元素
3. 是一種 三角矩陣，因此具備 三角矩陣 的所有特征
4. 對稱矩陣 能夠 正交對角化 為 對角矩陣

三角矩陣

性質：

1. 一定是方陣
2. 三角矩陣的 主對角線 上的元素，就是它的特征值

正交矩陣

滿足

\[AA^T=A^T A=I \]

的方陣，叫做 正交矩陣

性質：

1. 正交矩陣一定可逆 ：也就是說：正交矩陣一定有： \(A^T = A^{-1}\)
2. 具有單位正交列向量，反之也成立
3. 正交矩陣 列彼此單位正交，行也彼此單位正交。
4. 正交矩陣不改變向量的范數： \(||Ux||=||x||\) U為正交矩陣
5. \((Ux)\cdot(Uy) = x\cdot y\)
6. \((Ux)\cdot(Uy) = 0\) 的充要條件是： \(x\cdot y = 0\)

任何具有單位正交列的方陣 都是正交矩陣

可正交對角化的矩陣

定義：如果存在一個 正交矩陣 P (滿足 \(P^{-1} = P^T\)) 和一個 對角矩陣 D 使得

\[A = PDP^T = PDP^{-1} \]

則稱矩陣 A 為可正交對角化的矩陣

注意 P必須由 彼此線性無關的且單位正交的特征向量 構成

定理 ：一個n階方陣A可正交對角化的充要條件是 A 是對稱矩陣

可正交對角化的矩陣一定是對稱矩陣，只有對稱矩陣才能可正交對角化

注意 對稱矩陣的 不同 特征空間的任意兩個特征向量是正交的，但 同一特征空間 的不同特征向量 雖然一定線性無關，但不一定正交，需要進行檢查，然后用格萊姆施密特方法 把他們化成正交的。

將一個對稱矩陣正交對角化的例題：課本P394

相似矩陣

n階方陣才能彼此相似

性質：

2. 相似矩陣特征值相同，特征值相同不一定相似，但是 如果 A B 均為對稱矩陣，那么A B 相似