定義：若$AA=A$，則稱$A$為冪等矩陣。
1.冪等矩陣的特征值只取1和0兩個數值
證明：
設$\lambda$是冪等矩陣$A$的特征值，$\bold{v}$是與$\lambda$對應的特征向量，則
$\lambda \bold{v}=A\bold{v}=A^2 \bold{v}=\lambda^2 \bold{v}$
即$(\lambda^2-\lambda)\bold{v}=\bold{0}$
因為 $\bold{v}\not=\bold{0}$，所以$(\lambda^2-\lambda)=0$，故$\lambda=0$或$1$.
2.冪等矩陣一定可以對角化
證明：
證明此性質需用到兩個引理：
引理1：$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ (這里$r$表示矩陣的秩)
引理2：$A_{m \times n} B_{n \times k} \leq n$
現假設A為$n \times n$的冪等矩陣，且$r(A)=r$
因為$A(E-A)=A-AA=A-A=0$
所以$n=r(E)=r(A+(E-A)) \leq r(A)+r(E-A) \leq n$
故有$r(A)+r(E-A) = n$
設$\lambda$是矩陣$A$的特征值，根據上面的性質1，$\lambda=0$或$1$
對應於$\lambda=0$的有$n-r(0 \times E-A)$個線性無關的特征向量(即方程$(0 \times E-A)x=0$基礎解系有$n-r(0 \times E-A)$個基向量)
對應於$\lambda=1$的有$n-r(1 \times E-A)$個線性無關的特征向量
由於$r(0 \times E-A) + r(1 \times E-A) = r(A)+r(E-A) = n$
所以$A$有$[n-r(0 \times E-A)] + [n-r(1 \times E-A)] = n$個線性無關的特征向量，所以$A$一定可以對角化，其對角化之后的形式可表示為
3.所有冪等矩陣的秩與跡相等，即$r(A)=tr(A)$
證明：由性質2容易導出該性質。
4.假設A為$n \times n$的冪等矩陣，且$r(A)=r$，則$A$有$r$個特征值1，$n-r$個特征值0
證明：由性質2容易導出該性質。