$\S 1$ 循環矩陣的定義及多項式表示
設 $K$ 為數域. 任取 $K$ 中 $n$ 個數 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,下列矩陣稱為 $K$ 上的 $n$ 階循環矩陣:
$$A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \\ \end{pmatrix}.\qquad(1)$$
取 $a_2=1$, $a_1=a_3=\cdots=a_n=0$, 則可得到如下基礎循環矩陣:
$$J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}.\qquad(2)$$
由復旦高代白皮書的例 2.1 可知, $J^k=\begin{pmatrix} 0 & I_{n-k} \\ I_k & 0 \\ \end{pmatrix}\,(1\leq k\leq n)$, 從而$$A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}.\qquad(3)$$ 令 $g(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n-1}$, 則 $g(x)$ 是 $K$ 上次數不超過 $n-1$ 的多項式, 使得 $A=g(J)$, 這就是循環矩陣關於基礎循環矩陣的多項式表示. 記 $C_n(K)$ 為 $K$ 上所有 $n$ 階循環矩陣構成的集合, 容易驗證: 在矩陣的加法和數乘下, $C_n(K)$ 是一個 $n$ 維線性空間, 其一組基為 $\{I_n,J,\cdots,J^{n-1}\}$. 再任取循環矩陣 $B=h(J)$, 其中 $h(x)$ 是 $K$ 上次數不超過 $n-1$ 的多項式, 則利用多項式乘法和 $J^n=I_n$ 可知 $AB=g(J)h(J)$ 仍然是一個循環矩陣 (參考白皮書的例 2.12). 因此, $C_n(K)$ 是 $K$ 上的 $n$ 維交換代數, 同構於 $K[x]/(x^n-1)$.
$\S 2$ 循環矩陣的性質
下面將依次研究循環矩陣的特征值、特征向量和可對角化等性質, 由此可得循環矩陣的行列式、秩和非異性等信息. 這些內容包含在白皮書的例 2.52, 例 6.9, 例 6.32 和例 6.39 的推論中.
容易計算出基礎循環矩陣 $J$ 的特征多項式 $|\lambda I_n-J|=\lambda^n-1$, 從而 $J$ 在復數域中有 $n$ 個不同的特征值, 即 $n$ 次單位根 $\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(0\leq k\leq n-1)$, 因此 $J$ 在復數域上可對角化. 經計算可知, 特征值 $\omega_k$ 的特征向量是 $\alpha_k=(1,\omega_k,\omega_k^2,\cdots,\omega_k^{n-1})'$. 將這些特征向量按列分塊拼成一個矩陣: $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega_1 & \omega_2 & \cdots & \omega_{n-1} \\ 1 & \omega_1^2 & \omega_2^2 & \cdots & \omega_{n-1}^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \omega_1^{n-1} & \omega_2^{n-1} & \cdots & \omega_{n-1}^{n-1} \\ \end{pmatrix},\quad(4)$$ 則由 Vander Monde 行列式或特征值特征向量的性質可知, $P$ 是非異陣, 並且滿足 $$P^{-1}JP=\mathrm{diag}\{1,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_{n-1}\},\quad(5)$$ 從而 $$P^{-1}AP=P^{-1}g(J)P=g(P^{-1}JP)=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}.\quad(6)$$ 由 (6) 式可知, 循環矩陣 $A=g(J)$ 的特征值為 $g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})$, 對應的特征向量是 $\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1}$, 並且 $A$ 可對角化. 特別地, $|A|=g(1)g(\omega_1)g(\omega_2)\cdots g(\omega_{n-1})$, $r(A)=\sharp\{0\leq k\leq n-1\mid g(\omega_k)\neq 0\}$, $A$ 非異當且僅當 $g(\omega_k)\neq 0\,(0\leq k\leq n-1)$, 也即當且僅當 $(\lambda^n-1,g(\lambda))=1$.
定理 1 $n$ 階復循環矩陣全體 $C_n(\mathbb{C})$ 與 $n$ 階復對角矩陣全體 $D_n(\mathbb{C})$ 之間存在一個自然的代數同構 $\xi$.
證明 $n$ 階復對角矩陣全體在矩陣的加法、數乘和乘法下成為復數域上的代數. 我們通過 (6) 式來定義映射 $\xi$, 即 $\xi: C_n(\mathbb{C})\to D_n(\mathbb{C})$ 定義為 $\xi(A)=P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}$. 容易驗證 $\xi$ 保持矩陣的加法、數乘和乘法, 從而是一個代數同態. 對任一 $\Lambda=\mathrm{diag}\{\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_{n-1}\}$, 利用 Lagrange 插值公式可知, 存在次數不超過 $n-1$ 的多項式 $h(\lambda)$, 使得 $h(\omega_k)=\lambda_k\,(0\leq k\leq n-1)$. 令 $B=h(J)$, 則 $\xi(B)=\Lambda$, 即 $\xi$ 是滿射. 又 $\dim C_n(\mathbb{C})=\dim D_n(\mathbb{C})=n$, 從而 $\xi$ 是一個線性同構, 從而是代數同構. $\Box$
推論 2 $n$ 階復矩陣 $B$ 可對角化的充要條件是 $B$ 相似於某個循環矩陣.
證明 由定理 1 中的同構 $\xi$ 是通過相似變換實現的即得結論. $\Box$
推論 3 設 $A\in C_n(K)$, 則 $A^*$ 也是循環矩陣.
證法一 由 (6) 式可知 $$P^*A^*(P^*)^{-1}=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*$$ 仍為對角陣. 注意到 $P^*=|P|P^{-1}$, 故上述等式可化為 $$P^{-1}A^*P=(P^{-1}AP)^*=\mathrm{diag}\{g(1),g(\omega_1),g(\omega_2),\cdots,g(\omega_{n-1})\}^*.$$ 因此由定理 1 的結論, $A^*=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^*\bigg)$ 也是循環矩陣.
證法二 由白皮書的例 6.62 可知, 存在多項式 $h(\lambda)\in K[\lambda]$, 使得 $A^*=h(A)$. 設 $A=g(J)$, 則 $A^*=h(A)=h(g(J))$ 仍為 $J$ 的多項式, 從而是循環矩陣. $\Box$
推論 4 若 $A\in C_n(K)$ 是非異陣, 則 $A^{-1}$ 也是循環矩陣.
證法一 由定理 1 的結論, $A^{-1}=\xi^{-1}\bigg(\xi(A)^{-1}\bigg)$ 也是循環矩陣.
證法二 由 Cayley-Hamilton 定理可知, 存在多項式 $h(\lambda)\in K[\lambda]$, 使得 $A^{-1}=h(A)$ (參考白皮書的例 6.61). 設 $A=g(J)$, 則 $A^{-1}=h(A)=h(g(J))$ 仍為 $J$ 的多項式, 從而是循環矩陣.
證法三 設 $A=g(J)$, 則由 $A$ 非異可知 $(\lambda^n-1,g(\lambda))=1$. 由互素多項式的性質可知, 存在 $u(\lambda),v(\lambda)$, 使得 $(\lambda^n-1)u(\lambda)+g(\lambda)v(\lambda)=1$. 令 $\lambda=J$, 代入上式可得 $g(J)v(J)=I_n$, 從而 $A^{-1}=v(J)$ 也是循環矩陣.
證法四 由 $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*$ 以及推論 3 即得結論. $\Box$
推論 5 $K$ 上的 $n$ 階非異循環矩陣全體 $GC_n(K)$ 在矩陣乘法下成為一個 Abel 群.
推論 6 設 $A$ 為 $n$ 階復循環矩陣, $f(z)$ 是收斂半徑等於 $+\infty$ 的復冪級數, 則 $f(A)$ 也是循環矩陣.
證法一 注意到 $f(P^{-1}AP)=P^{-1}f(A)P$, 從而 $f(A)=\xi^{-1}\bigg(f(\xi(A))\bigg)$ 也是循環矩陣.
證法二 由 15 級高代 II 每周一題第 15 題可知, 存在多項式 $h(z)$, 使得 $f(A)=h(A)$ 也是循環矩陣.
證法三 設 $f(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty a_iz^i$, $f_p(z)=\sum\limits_{i=0}^p a_iz^i$ 為 $f(z)$ 的部分和多項式. 設 $A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}$, 則 $f_p(A)=b^{(p)}_1I_n+b^{(p)}_2J+b^{(p)}_3J^2+\cdots+b^{(p)}_nJ^{n-1}$. 由於矩陣序列 $\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)$ 收斂到 $f(A)$, 故每個數列 $\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i$ 都收斂. 若設 $\lim\limits_{p\to\infty}b^{(p)}_i=b_i\,(1\leq i\leq n)$, 則 $f(A)=\lim\limits_{p\to\infty}f_p(A)=b_1I_n+b_2J+b_3J^2+\cdots+b_nJ^{n-1}$ 仍為循環矩陣. $\Box$
$\S 3$ 循環矩陣的應用
下面我們給出循環矩陣的一個應用.
命題 7 設有 $K$ 中 $n^2\,(n\geq 2)$ 個不同的數, 則存在一個全排列, 記為 $a_1,\cdots,a_{n^2}$, 使得 $$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_{n+1} & a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+1} & a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\ \end{vmatrix}\neq 0.$$
證明 對 $n$ 進行歸納. $n=2$ 時, 先取到 $a_1,a_2$, 使得 $a_1+a_2\neq 0$, 從而 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_1 \\ \end{vmatrix}=(a_1-a_2)(a_1+a_2)\neq 0$, 於是 $B=\{(a_1,a_2),(a_2,a_1)\}$ 是 $K^2$ 的一組基. 注意到 $(a_3,a_4)\neq 0$, 故由基擴張定理, 必可從基 $B$ 中選取一個基向量, 不妨設為 $(a_1,a_2)$, 使得 $\{(a_1,a_2),(a_3,a_4)\}$ 成為 $K^2$ 的一組基, 因此 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{vmatrix}\neq 0$. 設 $n-1$ 時結論成立, 現證 $n$ 的情形.
證法一 先取到 $a_1,a_2,\cdots,a_n$, 使得 $a_1+a_2\omega_k+\cdots+a_n\omega_k^{n-1}\neq 0$ 對 $0\leq k\leq n-1$ 都成立. 這一定能做到, 比如先選定 $a_2,\cdots,a_n$, 則不滿足上述條件的 $a_1$ 最多只有 $n$ 個, 從而可取到滿足上述條件的 $a_1$. 由循環矩陣的性質可知, (1) 式中的循環矩陣 $A$ 是非異陣, 特別地, $A$ 的 $n$ 個行向量 $\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}$ 是 $K^n$ 的一組基. 由歸納假設, 可從剩下 $n^2-n$ 個數中選出 $(n-1)^2$ 個數的全排列, 使得 $$\begin{vmatrix} a_{n+2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n^2-n+2} & \cdots & a_{n^2} \\ \end{vmatrix}\neq 0,$$ 后面隨便選取 $a_{n+1},\cdots,a_{n^2-n+1}$, 均可使 $n-1$ 個行向量 $(a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n})$, $\cdots$, $(a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})$ 線性無關 (參考復旦高代教材的習題 3.4.9). 因此由基擴張定理, 必可從基 $\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\}$ 中選出一個基向量, 不妨設為 $\beta_1$, 使得 $\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)$, $(a_{n+1},a_{n+2},\cdots,a_{2n})$, $\cdots$, $(a_{n^2-n+1},a_{n^2-n+2},\cdots,a_{n^2})\}$ 構成 $K^n$ 的一組基, 從而結論得證.
證法二 用反證法, 設對 $n^2$ 個數的所有全排列, 對應的行列式都等於零, 我們來推出矛盾. 先取到 $a_1,a_2,\cdots,a_n$, 使得 $a_1+a_2+\cdots+a_n\neq 0$, 再由歸納假設, 不妨設取到的行列式中, $a_1$ 的代數余子式 $A_1\neq 0$. 設其余元素 $a_i$ 的代數余子式為 $A_i\,(2\leq i\leq n)$, 因此 $a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=0$. 在取到的行列式中, 對換第一行的 $a_1$ 與 $a_i\,(2\leq i\leq n)$, 其余 $n^2-2$ 個元素保持不變, 則有 $a_iA_1+\cdots+a_1A_i+\cdots+a_nA_n=0$. 由此可得 $(a_1-a_i)(A_1-A_i)=0$, 但 $a_1\neq a_i$, 從而 $A_1=A_i\,(2\leq i\leq n)$. 最后, $0=a_1A_1+a_2A_2+\cdots+a_nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)A_1\neq 0$, 矛盾. $\Box$
注 命題 7 的證法一是構造性的, 利用這一證法可以給出滿足條件的全排列的總個數的一個粗略估計. 命題 7 的證法二由復旦數學學院 16 級本科生朱民哲提供.
本文的主要結論還可以推廣到特征零的域或者特征 $p>0$ 的域 (要求 $p\nmid n$) 及其分裂域或代數閉包上. 另外, 白皮書第二章的解答題 13 還給出了 $b-$循環矩陣的推廣. 有興趣的讀者可以自行學習和驗證這些結論.