相似、合同、正交矩陣的性質

合同矩陣：一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。

 

正交矩陣的逆矩陣等於轉置矩陣：因為正交矩陣的每個列向量都是單位向量，且不同列之間相互正交（即大題中正交化、單位化的結果）.

所以它與其轉秩矩陣的乘積是單位矩陣，也即其逆矩陣等於轉置矩陣～

 

相似矩陣的性質：

• 兩者的 秩相等；
• 兩者的 行列式值相等；
• 兩者的 跡數相等；
• 兩者擁有同樣的 特征值，盡管相應的 特征向量一般不同；
• 兩者擁有同樣的 特征多項式；

若A與對角矩陣相似，則稱A為可對角化矩陣。

 

方陣對角化的方法：

n階矩陣 A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣 A有 n個 線性無關的 特征向量。

若矩陣可對角化，則可按下列步驟來實現：

（1） 求出全部的特征值；

（2）對每一個特征值,設其重數為k,則對應齊次 方程組的 基礎解系由k個向量構成，即為對應的線性無關的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個線性無關的特征向量。

 

 

推論1

若 n階矩陣 A有 n個相異的 特征值，則 A與 對角矩陣相似。

對於 n階方陣 A，若存在 可逆矩陣 P， 使其為對角陣，則稱方陣 A可對角化。

定理2 ^[1] 

n階矩陣 A可對角化的充要條件是對應於 A的每個 特征值的 線性無關的 特征向量的個數恰好等於該特征值的 重數，即設是矩陣 A的重特征值。

定理3 ^[1] 

對任意一個 n階矩陣 A，都存在 n階 可逆矩陣 T使得即任一 n階矩陣 A都與 n階約當矩陣J相似。

 

判斷方法

判斷兩個矩陣是否相似的輔助方法：

（1）判斷 特征值是否相等；

（2）判斷 行列式是否相等；

（3）判斷 跡是否相等；

（4）判斷 秩是否相等。

以上條件可以作為判斷矩陣是否相似的必要條件，而 非充分條件。

（兩個矩陣若相似於同一對角矩陣，這兩個矩陣相似。）