矩陣等價
定義
如果矩陣A經過有限次初等行變換變成矩陣B，就成矩陣A與B行等價。
如果矩陣A經過有限次初等列變換變成矩陣B，就成矩陣A與B列等價。
如果矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價。
性質
- 反身性：A~A
- 對稱性：若A~B，則B~A
- 傳遞性：若A~B,B~C,則A~C
推論：
- 有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關系。
- r(A)=r(B），且A與B為同型矩陣。
矩陣相似
定義
設A、B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P，使P^(-1)AP=B,則稱B是A的相似矩陣，對A進行運算P^(-1)AP稱對A進行的相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣。
性質
1.若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同，從而A與B的特征值相同。
2.n階矩陣A與對角矩陣相似（A可以對角化）的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。
推論
- 若n階矩陣A與對角矩陣相似，則λ1,λ2,λ3....λn即是A的n個特征值。
- 如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角矩陣相似。
- A與某對角矩陣相似，B也與該對角矩陣相似，則A與B相似。
- |A|=|B|，r(A)=r(B),A與B跡相等。
矩陣合同
一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。
定義
b兩個n階矩陣A和B，如果存在可逆矩陣C使得C^(T）AC=B，則稱A與B合同，並稱由A到B的變換為合同變換，稱C為合同變換的矩陣。
- 一個二次型是半正定二次型，當且僅當它的正慣性指數等於它對應矩陣的秩。對於半正定二次型，其對應的對稱矩陣在實數域內可以合同到一個對角線元素只由0和1構成的對角矩陣。
- 正定二次型對應矩陣一定是可逆矩陣，且行列式大於0。對於正定二次型，其對應的對稱矩陣在實數域內合同於單位陣。一個n元二次型是正定二次型，當且僅當它的正慣性指數是n，同樣的可以定義半負定、負定和不定的二次型。