反對稱矩陣的特有性質
反對稱矩陣\(A = -A^T\)
１．不存在奇數級的可逆反對稱矩陣.
２．反對稱矩陣的主對角元素全為零.
３．反對稱矩陣的秩為偶數
４．反對稱矩陣的特征值成對出現（實反對稱的特征值為０或純虛數）
５．反對稱矩陣的行列式為非負實數
６．設A為反對稱矩陣，則A合同於矩陣
\(D = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \\ -1 & 0 & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & \\ & & & 0 & 1 & & & \\ & & & -1 & 0 & & & \\ & & & & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}\)
證明
數學歸納法可證6
因為Ａ為反對稱矩陣，設
\(A = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ -a_{12} & 0 & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & \dots & 0 \\ \end{bmatrix}\)
(1)當ｎ= 1時 結論顯然成立。
(2)當 n = 2時
若\(a_{12} = 0\) 結論顯然也成立。
若$a_{12} \not=0 \(，取 \)U = \begin{bmatrix}
0 & 1 \
-1 & a_{12}^{-1} \
\end{bmatrix}\( 則有 \)U^TAU =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
-1 &0 \
\end{bmatrix}$，
所以Ａ與Ｄ合同。
(3)假定對於階數小於ｎ時反對稱矩陣A合同於Ｄ
現證明對\(n(n \leq 3)\)的反對稱矩陣A也合同於D
若Ａ的第一行全為０，則有
\(A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & B \\ \end{bmatrix}\)
其中Ｂ是n-1階反對稱矩陣，則存在n-1階可逆矩陣Q與矩陣Ｄ，使得\(Q^TBQ = D\)
取\(S = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & Q \\ \end{bmatrix}\)
則\(S^TAS = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & Q^TBQ \\ \end{bmatrix}\)
再令\(T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ I_{n-1} & 0 \\ \end{bmatrix}\)
此處\(I_{n-1}\) 是n-1階單位矩陣
有\(T^TS^TAST = \begin{bmatrix} Q^TBQ & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\)
取\(P=ST\)，則有
\(P^TAP = \begin{bmatrix} Q^TBQ & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\)
則Ａ合同於Ｄ
2.若矩陣Ａ的第一行不全為０)
\(A = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ -a_{12} & & & \\ \vdots & & B & \\ -a_{1n} & & & \\ \end{bmatrix}\)
不妨設\(a_{12} \not= 0\)，可對Ａ實施初等變換如下：
\(A_2=Q_2^TAQ_2 = \begin{bmatrix} a_{12}^{-1} & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ -a_{12} & & & \\ \vdots & & B & \\ -a_{1n} & & & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{12}^{-1} & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \dots & a_{12}^{-1}a_{1n} \\ -1 & & & \\ \vdots & & B_2 & \\ -a_{12}^{-1}a_{1n} & & & \\ \end{bmatrix}\)
再取\(Q_j = \begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ & 1 & \dots & -a_{12}^{-1}a_{1j} & \dots & 0 \\ & & \ddots & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad s.t. 3 \leq j \leq n\)
可得\(A_n = Q_n^T \dots Q_3^TA_2Q_3 \dots Q_n = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \\ -1 & 0 & \\ & & B_n \\ \end{bmatrix}\)
由於所作為對稱式的變換，所以B_n依舊為反對稱矩陣，所以存在n-2階可逆矩陣S使得\(S^TBS = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \\ -1 & 0 & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & \\ & & & 0 & 1 & & & \\ & & & -1 & 0 & & & \\ & & & & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}\)
令\(Q = Q_2 \dots Q_n\)且\(S' = \begin{bmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & S \\ \end{bmatrix}\)，此處\(I_2\)為２階單位矩陣
則有\(Q^TS^TASQ = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \\ -1 & 0 & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & \\ & & & 0 & 1 & & & \\ & & & -1 & 0 & & & \\ & & & & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}\)
所以Ａ是Ｄ的合同矩陣。
引理
由上可知\(A=UDU^T\)，由於Ｕ為滿秩（初等變換矩陣），所以Ａ的秩等於Ｄ的秩。
Ｄ的秩為偶數，所以Ａ的秩也為偶數，即，反對稱矩陣的秩為偶數