如何理解矩陣的秩

小時候老師總告訴我們「要有n個方程才能確定地解出n個未知數」——這句話其實是不嚴格的，如果你想確定地解出n個未知數，只有n個方程是不夠的，這n方程還必須都是「有用的」才行。從這個角度，初學者可以更好地理解「矩陣的秩」。

其實，《線性代數》這門課自始自終被兩條基本線索交叉貫穿——它們可以被稱為這門課程最為關心的兩大基本問題；當這兩個問題被深入地研究之后，我們還會發現這兩者在某一個節點上被統一在了一起——這兩個問題中的一個就是尋求形如：

這樣的n元一次方程組的「解法」、並且對它的解進行如下的研究。

1. 在面對一個具體的問題時，一般而言我們會首先關注這個問題“有沒有答案”——這就是所謂「解的存在性」。
2. 如果所研究的問題是有答案的，進一步地我們會關心這個問題的“答案是不是只有一個”——這就是所謂「解的唯一性」。
3. 如果我們對上述兩個問題的回答是：答案唯一地存在，那么接下來我們想要知道是否能有統一的方法來找到這個解；如果我們的回答是：答案存在但是不唯一，我們就要問：能否把每一個答案全部找到？並且、能否說清楚這個問題不同答案之間的相互關系——換言之，我們想要研究線性方程組「解的結構」。

當然，小時候老師就告訴過我們：「想要確定地*解出n個未知數，你要有n個方程才行」——這句話其實是不嚴格的，如果你想准確地解出n個未知數，只有n個方程是不夠的，這n方程還必須都是「有用的」才行，而這些有用的的個數，就是所謂「矩陣的秩」。

* 換用精確的數學語言，「確定地解出方程」這句話應該表述為「解出方程，並且要求該結果是唯一的」，換言之，矩陣的秩回答了「方程組解的唯一性」。

換言之，有些方程組你看上去有很多內容，但其實它是被嚴重注水的——那個方程組中可能有一些方程是完全沒用的，比如下面這個例子：

如果你將第一個方程的-1、-4、-2倍分別加在隨后的各個方程上，就可以得到：

這一步消掉了后三式中含有 和 的項，繼續：將第二個方程的-3倍和1倍分別加在第三、第四個方程上：

注意：后兩個方程“0=0”實際上沒有告訴我們任何新的信息，這實際上這兩個方程完全沒用！換言之，整個方程組真正「有價值的」部分只有兩個：

按照中學數學的觀點：老師常常告訴我們，四個未知數、兩個方程，是沒有辦法解的——這是一句不嚴謹的說法，中學老師真正想要告訴我們的是：方程的個數低於未知量個數時，這個線性方程組是沒有唯一解的——換言之，這個方程組有無窮多個解。

那么我們接下來就有一個很自然的問題：

我們究竟應該除去哪些方程，以保證剩下的方程每一個都是“有價值的”？

這個問題實際上是線性代數特別關心的一個話題，回答了這個問題，就可以幫助我們非常恰當地化簡一個方程組。

要回答這個問題，我們就需要引入一個新的概念：極大線性無關組；

在講清楚這個概念之前，我們需要了解什么叫做“線性無關”。

線性相關與線性無關

在一個線性空間*中，如果一組向量 ， ， ， （其中 ）從 可以推知 ，則稱這組向量「線性無關」。

相應地，在一個線性空間中，如果存在一組不全為零的數 （其中 ），使得一組向量 ， ， ， 有 成立，則稱這組向量「線性相關」。

以上面的方程組為例：觀察這個方程組前兩個方程的系數和常數項組成的行向量，令：

對於前兩個向量而言：如果計算 ，得到的方程組是：

實際上這其中第一、二、四個方程是是同一個，整個方程組簡化為：

計算可知： ， ，這說明 和 是線性無關的。

然而、如果我們考慮前三個向量 、 和 ，就可以根據前面的變換輕易地得知： ；考慮前四個向量向量 、 、 和 ，我們還可以知道： ，這說明前：三個向量所組成的向量組是線性相關的；前四個向量組成的向量也是線性相關的。

畢竟，矩陣每一行拆開就是一堆向量；把一堆向量拼起來，就是一個矩陣；所以，如果你把 、 、 和 這四個向量排成一列，這不就是一個矩陣嗎？

而我們關於「矩陣的秩」的定義是這樣的：矩陣中所有行向量中極大線性代無關組的元素個數。——而我們前面已經說了，「極大線性無關組」其實就是那個方程組中真正有價值的方程對應的系數向量。

現在，相信你一定理解了我們最初的那句話：那些方程組中真正是有用的的方程個數，就是這個方程組對應矩陣的秩。