向量的線性相關、矩陣的秩總結

本文轉載自查看原文 2022-04-18 23:01 2505 線性代數相關

一些雜談（可以不看）

這次嘗試使用了MD記筆記。我這人真的挺奇怪，對着電腦記筆記比對着紙筆更專注。。。希望期末線代高數大物不會拋棄我。。。

以下是正文：

本文綜合了網絡各處的大佬的想法，綜合總結成了筆記，僅作個人學習用。如我的行為如果有冒犯到您，請聯系我，我將立即修改或刪除。

前置概念

向量組和向量組的線性表示

如果向量組$B:\beta_1,\beta_2...\beta_q$中的每個向量都可由向量組$A:\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n$線性表示，則稱向量組B可由向量組A線性表示。（也稱為兩個向量組等價）

假設$B$由$A$表示：

$\left\{\begin{matrix} \beta = c_{11}\alpha_1+c_{21}\alpha_2+\cdots+c_{p1}\alpha_p\\ \beta = c_{12}\alpha_1+c_{22}\alpha_2+\cdots+c_{p2}\alpha_p\\ \cdots \\ \beta = c_{13}\alpha_1+c_{23}\alpha_2+\cdots+c_{p3}\alpha_p \end{matrix}\right.$

觀察可知：一個向量組表示另一向量組就是矩陣乘法的關系。因此我們改寫為矩陣形式：

$\begin{bmatrix}\beta_1 ,\beta_2, \cdots ,\beta_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\alpha_1 ,\alpha_2, \cdots ,\alpha_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots &c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots &c_{2q} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_{p1} & c_{p2} & \cdots &c_{pq} \end{bmatrix}_{p\times q}$

即：$B=A\times C$系數矩陣。

性質

若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$可被向量組$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$線性表示，則：

$R(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\le R(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t)$

這里需要用到秩的概念，建議看完下面再來這里。

線性相關

定義

如果一組向量中至少有一個是多余的，沒有對張成空間作出任何貢獻，你有多個向量，並且可以移除其中一個而不減少張成的空間，稱線性相關。

對於一個二維空間，只需要任意兩個不共線的非零向量即可張成整個空間。此時稱這兩個向量線性無關；

假如此刻再次加入任意一個屬於該空間的向量，這個新的向量對構成此空間沒有任何作用（刪掉它不影響空間的形成），則現在稱這三個向量線性相關。此向量便是冗余的。

線性無關也可理解為：在張成的最大空間上，每個維度有且只有一個支撐向量的向量組。

另一種定義（百度百科、書本）

在向量空間V的一組向量$a_1,a_2...a_m$，如果存在不全為零的數$k_1, k_2,...,k_m$，使：
$k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m=0$ 那么稱向量組A是線性相關的。

這個概念不夠直觀，但是可以用來計算、判斷。

極大無關組（極大線性無關向量組）

記得前文提到的一組有冗余向量的向量組嗎？在這一組向量組中取一部分的向量，讓這一部分向量不僅線性無關，並且不能再加入更多向量繼續保持線性無關，那么這一組向量就是原向量組的極大無關組。因此：向量組與它的極大無關組等價。

也就是說，當我們刪除一個向量組的所有冗余向量后，剩下的就是原向量組的極大無關組。

極大無關組可能不唯一，但其包含的向量數一定唯一。

線性組合

$n$個向量$\alpha$（的倍數）相加形成新的向量$\beta$：

$\beta = \sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i$

則稱向量$\beta$是向量組$\alpha_i$的一個線性組合，向量$\beta$可由向量組$\alpha_i$的線性表示。

理解線性相關和線性表示的關系

一組線性相關的向量組，其中必定有向量是其他向量的線性組合。

若最大空間的子空間擁有冗余向量（可以找到線性組合），則向量組線性相關。

正交向量組

正交：垂直；
兩兩正交的向量組被稱為正交向量組；
若都為單位向量，則被稱為規范正交向量組。

Schmidt正交化

updating

線性相關的簡單性質

正交向量組線性無關；
含零向量的向量組線性相關；
向量組線性相關 $\Leftrightarrow$ 向量組中至少有一個向量是冗余的 $\Rightarrow$ $n+1$ 個 $n$維向量總是線性相關。個數大於維數必相關

不太直觀的性質

如果向量組$[a_1,a_2,a_3...a_n]$線性無關，向量組$[a_1,a_2,a_3...a_n,b]$線性相關，那么：
向量$b$可由向量組$[a_1,a_2,a_3...a_n]$線性表示，且表達式的系數唯一確定。

證明？不想看書了，教材寫得好差，有時間再補上吧。。。
線性無關向量組的加長向量組仍然線性無關。

//但是什么是加長向量組？//
假如二維向量$a(x,y)$增加了一個分量（維度），變成了$a(x,y,z)$，這個向量就加長了。假如向量組里的每一個向量都加長了，就形成了加長向量組。
可以想象平面內的兩個向量同時向第三維增加一個分量的情況。兩個向量雖然在三維空間里面形成了一個新的平面，但仍未升維，兩個向量不可能憑空多出一個維度，也不會因為到了新的平面而平白無故共線。

狗嘴里吐不出象牙。

矩陣的秩

通俗理解

矩陣的秩，代表了某個方程組（向量組）的有效方程個數。

在對方程組（系數矩陣）進行化簡（階梯矩陣）之后，會發現有的矩陣表面看上去“滿滿當當”，實際上有好多沒有起到作用的$0$行！！

比如對於矩陣$A$：

$\begin{bmatrix}1&1&2&3\\1&-1&4&1\\1&2&1&4\\1&1&2&3\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}1&0&3&2\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

雖然是$4$階方陣，但化簡之后非$0$行只有$2$行，因此其秩為$2$。

$R(A)=2$

前面的極大無關向量組嗎？它包含的向量個數就是這個向量組的秩。

矩陣的秩常用結論

$0\le R_{(A_{m\times n})}\le \min(m,n)$
$R_{(A^T)}=R_{(A)}$
$R\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}=R\begin{bmatrix}0&A\\B&0\end{bmatrix}=R_{(A)}+R_{(B)}$
$R\begin{bmatrix}A&0\\C&B\end{bmatrix}\ge R_{(A)}+R_{(B)}$
矩陣乘以可逆矩陣，秩不變。如：$R_{(B^{-1}AB)}=R_{(A)}$
$R_{(A\pm B)}=R_{(A)}+R_{(B)}$
重要性質！（西爾維斯特不等式）
若$A$為$m\times n$矩陣,$B$為$n\times l$矩陣（$A,B$矩陣可以相乘），則：$R_{(A)}+R_{(B)}-n\le R_{(AB)}\le \min(R_{(A)},R_{(B)})$

證明：（證明過程較重要）
設置一個矩陣$\begin{bmatrix}A&0\\E_n&B\end{bmatrix}$；
可以知道經過初等變換，這個矩陣可以把左上角和右下角變為0：
$\begin{bmatrix}E_m&-A\\0&E_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&0\\E_n&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_n&-B\\0&E_l\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0&-AB\\E_n&0\end{bmatrix}$
to be updated...

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