定義 1：
設\(V\)是數域\(K\)上的線性空間，\(V\)中的一個向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s(s \geq 1)\)，如果\(K\)中不全為\(0\)的數\(k_1, k_2, \dots, k_s\)使得\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0\)，即向量組線性相關。否則稱向量組線性無關（即只有\(k_1 = k_2 = \dots = k_s = 0\)，才能滿足\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0\)）。
考慮齊次線性方程組：
（1）\(K^s\)中，列向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_n\)線性相關
\(\Leftrightarrow\)\(K\)中不全為\(0\)的\(c_1,c_2,\dots ,c_n\)使得\(c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \dots + c_n\alpha_n = 0\)
\(\Leftrightarrow\)\(K\)上的\(n\)元齊次線性方程組有非零解
從而，若列向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_n\)線性無關
\(\Leftrightarrow\)\(x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n\alpha_n = 0\)只有零解。
（2）\(K^n\)中，列向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_n\)線性相關（無關）
\(\Leftrightarrow\)以列向量組為矩陣的行列式等於\(0\)（不為\(0\)）
設\(V\)是數域\(K\)上的一個線性空間，\(V\)的性質：
（1）\(\alpha\)（單個向量的向量組）線性相關
\(\Leftrightarrow\)有\(k\alpha = 0,k \neq 0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\alpha = 0\)
從而\(\alpha\)線性無關\(\Leftrightarrow\)\(\alpha \neq 0\)
（2）對於向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)如果有一個部分組線性相關
\(\Leftrightarrow\)原向量組線性相關
從而，逆否命題，如果向量組線性無關\(\Leftrightarrow\)任何一個部分組都線性無關。
（3）那么自然，含有零向量的向量組都線性相關
（4）向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性相關(\(s \geq 2\))
\(\Leftrightarrow\)至少有一個向量，可以由其余向量線性表出。
證明：
必要性：由定義，\(K\)中不全為\(0\)的數，
\(k_1, k_2, \dots, k_s\)使得\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0\)
不妨設\(k_i \neq 0\)，那么\(\alpha_i = -\frac{k_1}{k_i}\alpha_1 - \dots - \frac{k_{i-1}}{k_i}\alpha_{i-1} - \frac{k_1}{k_{i+1}}\alpha_{i+1}- \dots -\frac{k_s}{k_i}\alpha_s\)
充分性：設\(\alpha_j = l_1\alpha_1 + \dots + l_{j-1}\alpha_{j-1} + l_{j+1}\alpha_{j+1} + \dots + l_s\alpha_s\)
那么\(l_1\alpha_1 + \dots + l_{j-1}\alpha_{j-1} - \alpha_j + l_{j+1}\alpha_{j+1} + \dots + l_s\alpha_s = 0\)
故，\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性相關
從而，向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關\(\Leftrightarrow\)任何一個向量都與其他向量線性無關。
命題 1：
設\(\beta\)可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出，且表出方式唯一\(\Leftrightarrow\)\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關
證明：
充分性：設\(\beta = a_1\alpha_1 + \dots + a_s\alpha_s\)，
再令\(\beta = b_1\alpha_1 + \dots + b_s\alpha_s\)
兩式相減，\(0 = (a_1 - b_1)\alpha_1 + \dots + (a_s - b_s)\alpha_s\)
由於\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關，
故，\(a_i - b_i = 0, i = 1, 2, \dots ,s\)，即表出方式唯一
必要性：反證法，假設\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性相關
\(\Leftrightarrow\)\(K\)中不全為\(0\)的數\(k_1, k_2, \dots, k_s\)使得\(0=k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s\)
令\(\beta = a_1\alpha_1 + \dots + a_s\alpha_s\)，兩式相加
\(\beta = (a_1 + k_1)\alpha_1 + \dots + (a_s + k_s)\alpha_s\)
由於\(k_1, k_2, \dots, k_s\)不全為\(0\)，故
\((a_1, a_2, \dots ,a_s) \neq (k_1 + a_1, k_2 + a_2, \dots ,k_s+a_s)\)
則與表出唯一矛盾，故\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關。
命題 2：
設\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關
如果\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s, \beta\)線性相關\(\Leftrightarrow\)\(\beta\)可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出
證明：\(K\)中不全為\(0\)的數\(k_1, k_2, \dots, k_s, l\)使得\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s + l \dot \beta = 0\)
若\(l = 0\)，則\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0\)
其中\(k_1, k_2, \dots, k_s\)不全為\(0\)\(\Rightarrow\)\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關
與條件矛盾，故\(l \neq 0\)，則\(\beta = -\frac{k_1}{l}\alpha_1 -\frac{k_2}{l}\alpha_2 - \dots - -\frac{k_s}{l}\alpha_s\)，則\(\beta\)可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出。
充分性由線性空間性質4可推。