定义 1：
设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间，\(V\)中的一个向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s(s \geq 1)\)，如果\(K\)中不全为\(0\)的数\(k_1, k_2, \dots, k_s\)使得\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0\)，即向量组线性相关。否则称向量组线性无关（即只有\(k_1 = k_2 = \dots = k_s = 0\)，才能满足\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0\)）。
考虑齐次线性方程组：
（1）\(K^s\)中，列向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_n\)线性相关
\(\Leftrightarrow\)\(K\)中不全为\(0\)的\(c_1,c_2,\dots ,c_n\)使得\(c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \dots + c_n\alpha_n = 0\)
\(\Leftrightarrow\)\(K\)上的\(n\)元齐次线性方程组有非零解
从而，若列向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_n\)线性无关
\(\Leftrightarrow\)\(x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n\alpha_n = 0\)只有零解。
（2）\(K^n\)中，列向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_n\)线性相关（无关）
\(\Leftrightarrow\)以列向量组为矩阵的行列式等于\(0\)（不为\(0\)）
设\(V\)是数域\(K\)上的一个线性空间，\(V\)的性质：
（1）\(\alpha\)（单个向量的向量组）线性相关
\(\Leftrightarrow\)有\(k\alpha = 0,k \neq 0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\alpha = 0\)
从而\(\alpha\)线性无关\(\Leftrightarrow\)\(\alpha \neq 0\)
（2）对于向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)如果有一个部分组线性相关
\(\Leftrightarrow\)原向量组线性相关
从而，逆否命题，如果向量组线性无关\(\Leftrightarrow\)任何一个部分组都线性无关。
（3）那么自然，含有零向量的向量组都线性相关
（4）向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性相关(\(s \geq 2\))
\(\Leftrightarrow\)至少有一个向量，可以由其余向量线性表出。
证明：
必要性：由定义，\(K\)中不全为\(0\)的数，
\(k_1, k_2, \dots, k_s\)使得\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0\)
不妨设\(k_i \neq 0\)，那么\(\alpha_i = -\frac{k_1}{k_i}\alpha_1 - \dots - \frac{k_{i-1}}{k_i}\alpha_{i-1} - \frac{k_1}{k_{i+1}}\alpha_{i+1}- \dots -\frac{k_s}{k_i}\alpha_s\)
充分性：设\(\alpha_j = l_1\alpha_1 + \dots + l_{j-1}\alpha_{j-1} + l_{j+1}\alpha_{j+1} + \dots + l_s\alpha_s\)
那么\(l_1\alpha_1 + \dots + l_{j-1}\alpha_{j-1} - \alpha_j + l_{j+1}\alpha_{j+1} + \dots + l_s\alpha_s = 0\)
故，\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性相关
从而，向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性无关\(\Leftrightarrow\)任何一个向量都与其他向量线性无关。
命题 1：
设\(\beta\)可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性表出，且表出方式唯一\(\Leftrightarrow\)\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性无关
证明：
充分性：设\(\beta = a_1\alpha_1 + \dots + a_s\alpha_s\)，
再令\(\beta = b_1\alpha_1 + \dots + b_s\alpha_s\)
两式相减，\(0 = (a_1 - b_1)\alpha_1 + \dots + (a_s - b_s)\alpha_s\)
由于\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性无关，
故，\(a_i - b_i = 0, i = 1, 2, \dots ,s\)，即表出方式唯一
必要性：反证法，假设\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性相关
\(\Leftrightarrow\)\(K\)中不全为\(0\)的数\(k_1, k_2, \dots, k_s\)使得\(0=k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s\)
令\(\beta = a_1\alpha_1 + \dots + a_s\alpha_s\)，两式相加
\(\beta = (a_1 + k_1)\alpha_1 + \dots + (a_s + k_s)\alpha_s\)
由于\(k_1, k_2, \dots, k_s\)不全为\(0\)，故
\((a_1, a_2, \dots ,a_s) \neq (k_1 + a_1, k_2 + a_2, \dots ,k_s+a_s)\)
则与表出唯一矛盾，故\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性无关。
命题 2：
设\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性无关
如果\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s, \beta\)线性相关\(\Leftrightarrow\)\(\beta\)可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性表出
证明：\(K\)中不全为\(0\)的数\(k_1, k_2, \dots, k_s, l\)使得\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s + l \dot \beta = 0\)
若\(l = 0\)，则\(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s = 0\)
其中\(k_1, k_2, \dots, k_s\)不全为\(0\)\(\Rightarrow\)\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性无关
与条件矛盾，故\(l \neq 0\)，则\(\beta = -\frac{k_1}{l}\alpha_1 -\frac{k_2}{l}\alpha_2 - \dots - -\frac{k_s}{l}\alpha_s\)，则\(\beta\)可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)线性表出。
充分性由线性空间性质4可推。