对于这样的线性方程组：
求解其答案的几何意义是：
那么可以想象，解有以下三种情况：
- 两条直线有一个交点，方程组有一个解
- 两条直线共线，方程组有无数解
- 两条直线平行，方程组无解
如果从矩阵、向量的角度来看待这个问题，我们会得到一个全新的解题思路。
1 通过矩阵求解线性方程组
文章开头提到的线性方程组：
我们可以写成矩阵、向量的形式：
令 
， 
， 
，我们就得到了更一般的形式：
要求解就要弄清楚这个矩阵方程的集合意义。
让我们从线性空间说起。
1.1 线性空间
先忘掉坐标系，我们从一片空白开始：
我们随便选个点作为原点，以此原点作两个单位正交的向量（因为是二维的，所以两个就够了）：
平面上的某个点，可以这样表示：
我们简化一下，这就变为了坐标的形式：
整个二维平面上的点，显然都可以通过 
的方式来表示。用数学的语言就是，整个二维平面是 
所张成的线性空间。
为了可视化张成的线性空间，我用灰色网格来表示，网格的交点就是整数坐标：
如果 不正交，长度也不相等，那么依然张成整个二维空间，只是网格有所不同（坐标有所不同）：
如果 在一条直线上，那么就只能张成一维空间：
当然，如果 都是原点，那么就只能张成零维空间了，也就是点。
1.2 
的几何意义
我们把 
在单位正交基 下画出来：
为了方便展示，我举个具体的 
，就用旋转矩阵吧（ 
）。
那么 的效果是让 发生旋转：
仔细观察下，变换开始时：
变换结束后：
可以观察到，整个变换过程是， 以 为基的坐标并没有发生变换，而是 这两个基发生了旋转，导致 发生了变换。
这就好比坐公交车：
我相对公交车没有移动，但因公交车移动了，我的位置还是发生了变化。
整个移动过程用公交车这个比喻来描述，就是这样的：
回到数学上来， 就是这辆公交车，公交车的移动取决于 的列向量：
1.3 的几何意义
就是说，通过 让 运动到 
：
借用公交车的比喻，就是在 上车，通过公交车到达了 。
1.4 矩阵的秩与解
这个公交车有点古怪，并非某个点上车都能到达 ，我们的任务就是找到那些可以到达 的 。
这就需要研究这个公交车的站牌了：
从数学上说，公交车的站牌是由 的列空间决定的，读懂了列空间就读懂了站牌。
1.4.1 满秩
比如，旋转矩阵 的列空间是二维的：
即整个二维空间上的点都在这个公交车 的行驶范围内，那么：
并且我们还可以观察到，只有唯一一个点上车才可以到达 ：
列空间的维度实际上就是矩阵的秩（参看 这个回答 ），所以我们得到第一个数学结论，满秩的矩阵，有唯一的解。
1.4.2 不满秩
再比如，这个矩阵 
的列空间是一维的：
那么，假如：
这也就是无解的意思。
可以观察出来， 
的秩一定小于 
，那么可以得到第二个数学结论， 的秩 < 的秩，那么无解。
如果 在 的列空间中，那么：
整条绿色线段上的点都会到达 点（多一句嘴， 不一定会经过 到达 点），这就是有无数个解。
这个可以直观去想象，空间由二维压缩到一维，那么必然有无数多个点被压缩到同一个点上去。
至此得到第三个数学结论： 的秩 = 的秩，并且不满秩，那么有无数多个解。
1.5 小结
我们得到三个数学结论：
- 满秩的矩阵，有唯一的解
- 的秩 < 的秩，无解
- 的秩 = 的秩，无数解
经过我们上面的分析，应该还是挺直观的吧。
继续推下去很容易得到解的结构、零空间、解空间这些概念，这里就不推下去了，抛砖引玉，希望大家集思广益。