對於這樣的線性方程組：
求解其答案的幾何意義是：
那么可以想象，解有以下三種情況：
- 兩條直線有一個交點，方程組有一個解
- 兩條直線共線，方程組有無數解
- 兩條直線平行，方程組無解
如果從矩陣、向量的角度來看待這個問題，我們會得到一個全新的解題思路。
1 通過矩陣求解線性方程組
文章開頭提到的線性方程組：
我們可以寫成矩陣、向量的形式：
令 
， 
， 
，我們就得到了更一般的形式：
要求解就要弄清楚這個矩陣方程的集合意義。
讓我們從線性空間說起。
1.1 線性空間
先忘掉坐標系，我們從一片空白開始：
我們隨便選個點作為原點，以此原點作兩個單位正交的向量（因為是二維的，所以兩個就夠了）：
平面上的某個點，可以這樣表示：
我們簡化一下，這就變為了坐標的形式：
整個二維平面上的點，顯然都可以通過 
的方式來表示。用數學的語言就是，整個二維平面是 
所張成的線性空間。
為了可視化張成的線性空間，我用灰色網格來表示，網格的交點就是整數坐標：
如果 不正交，長度也不相等，那么依然張成整個二維空間，只是網格有所不同（坐標有所不同）：
如果 在一條直線上，那么就只能張成一維空間：
當然，如果 都是原點，那么就只能張成零維空間了，也就是點。
1.2 
的幾何意義
我們把 
在單位正交基 下畫出來：
為了方便展示，我舉個具體的 
，就用旋轉矩陣吧（ 
）。
那么 的效果是讓 發生旋轉：
仔細觀察下，變換開始時：
變換結束后：
可以觀察到，整個變換過程是， 以 為基的坐標並沒有發生變換，而是 這兩個基發生了旋轉，導致 發生了變換。
這就好比坐公交車：
我相對公交車沒有移動，但因公交車移動了，我的位置還是發生了變化。
整個移動過程用公交車這個比喻來描述，就是這樣的：
回到數學上來， 就是這輛公交車，公交車的移動取決於 的列向量：
1.3 的幾何意義
就是說，通過 讓 運動到 
：
借用公交車的比喻，就是在 上車，通過公交車到達了 。
1.4 矩陣的秩與解
這個公交車有點古怪，並非某個點上車都能到達 ，我們的任務就是找到那些可以到達 的 。
這就需要研究這個公交車的站牌了：
從數學上說，公交車的站牌是由 的列空間決定的，讀懂了列空間就讀懂了站牌。
1.4.1 滿秩
比如，旋轉矩陣 的列空間是二維的：
即整個二維空間上的點都在這個公交車 的行駛范圍內，那么：
並且我們還可以觀察到，只有唯一一個點上車才可以到達 ：
列空間的維度實際上就是矩陣的秩（參看 這個回答 ），所以我們得到第一個數學結論，滿秩的矩陣，有唯一的解。
1.4.2 不滿秩
再比如，這個矩陣 
的列空間是一維的：
那么，假如：
這也就是無解的意思。
可以觀察出來， 
的秩一定小於 
，那么可以得到第二個數學結論， 的秩 < 的秩，那么無解。
如果 在 的列空間中，那么：
整條綠色線段上的點都會到達 點（多一句嘴， 不一定會經過 到達 點），這就是有無數個解。
這個可以直觀去想象，空間由二維壓縮到一維，那么必然有無數多個點被壓縮到同一個點上去。
至此得到第三個數學結論： 的秩 = 的秩，並且不滿秩，那么有無數多個解。
1.5 小結
我們得到三個數學結論：
- 滿秩的矩陣，有唯一的解
- 的秩 < 的秩，無解
- 的秩 = 的秩，無數解
經過我們上面的分析，應該還是挺直觀的吧。
繼續推下去很容易得到解的結構、零空間、解空間這些概念，這里就不推下去了，拋磚引玉，希望大家集思廣益。