利用Matlab求解線性方程組

 

利用高斯消元法編寫了一個能夠計算線性方程組，無解，有唯一解，無窮多解情況的matlab代碼。

程序說明：變量n1表示系數矩陣或者增廣矩陣的列數。當增廣矩陣的秩與系數矩陣的秩相等時（方程有唯一解時），n1表示系數矩陣的列數。當方程組無解或者有無數多解時，n1表示增廣矩陣的列數。

處理辦法為：

if sum(C)~=num1&&j==n1&&flag1==0%系數矩陣在消元過程中，若出現對角線及其一下元素均為0時，將n1變為增廣矩陣的列數。
            n1=n1+1;%在j等於系數矩陣的列時，n1增加1,變為增廣矩陣的列。
            flag1=1;%flag1保證if內的語句，只執行1次。
        end
當j執行到系數矩陣的列n1，且sum(C)~=num1（即系數消元過程中，出現了對角線及其一下元素均為0，如圖1所示）時，將n1+1.

 

圖1

 

function x=liner_equ_v2(A,b)
%該函數用於求解線性方程組
%輸入參數,A:方程組的系數矩陣，b:方程組的常數向量（列向量）
%輸出參數,x:方程組的解
%時間，2021.10.3
%版權所有人，zsy

%%使用實例
% A=[1,1,-3,-1;
%     3,-1,-3,4;
%     1,5,-9,-8];
% b=[1;4;0];



B=[A,b];%增廣矩陣
[m,n]=size(B);

num1=0;
for i=1:m
    num1=num1+i;
end

C=zeros(1,n);

i=1;
j=1;

n1=n-1;%系數矩陣或增廣矩陣的列數

flag1=0;

while j<=n1
    
    if B(i,j)~=0
        B(i,:)=B(i,:)/B(i,j);
        
        for k=i+1:m
            B(k,:)=B(k,:)-B(k,j)*B(i,:);
        end
        
        C(1,j)=i;
        
        
        if sum(C)~=num1&&j==n1&&flag1==0%系數矩陣在消元過程中，若出現對角線及其一下元素均為0時，將n1變為增廣矩陣的列數。
            n1=n1+1;%在j等於系數矩陣的列時，n1增加1,變為增廣矩陣的列。
            flag1=1;%flag1保證if內的語句，只執行1次。
        end
        
        i=i+1;
        j=j+1;
        
    else
        
        flag=0;
        k=i+1;
        
        while k<=m
            
            if B(k,j)~=0
                tt=B(i,:);
                B(i,:)=B(k,:);
                B(k,:)=tt;
                flag=1;
                
                if flag==1
                    break;
                end
                
            end
            
            
            k=k+1;
        end
        
        if flag==0
            j=j+1;
        end
        
    end
    

    
end

j=n-1;

while j>=1
    i=C(1,j);
    if i~=0
        
        k=i-1;
        while k>=1
            B(k,:)=B(k,:)-B(k,j)*B(i,:);
            k=k-1;
        end
        
    end
    
    j=j-1;
    
end


for i1=m:-1:1%i1:增廣矩陣最后1列，非0行的行數
    if B(i1,n)~=0
        break;
    end
end

for i2=m:-1:1%i1:系數矩陣最后1列，非0行的行數
    if B(i2,n-1)~=0
        break;
    end
end


if i1>i2
    disp('方程無解!');
    x=nan;
elseif i2==m
    disp('方程有唯一解!');
    x=B(:,n);
else
    disp('方程有無限多解!');
    disp('方程增廣矩陣的行最簡形為:');
    x=B;
end

 

end

　　

計算實例：

1、

A=[1,-2,2,-1;
2,-4,8,0;
-2,4,-2,3;
3,-6,0,-6];
b=[1;2;3;4];

x=liner_equ_v2(A,b)

方程無解!

x =

NaN

 

2、

A=[2,1,-3;
1,2,-2;
-1,3,2];
b=[1;2;-2];

x=liner_equ_v2(A,b)

方程有唯一解!

x =

-4.0000
0
-3.0000

 

3、

 

A=[1,1,-3,-1;
3,-1,-3,4;
1,5,-9,-8];
b=[1;4;0];

x=liner_equ_v2(A,b)

 

方程有無限多解!
方程增廣矩陣的行最簡形為:

x =

1.0000 0 -1.5000 0.7500 1.2500
0 1.0000 -1.5000 -1.7500 -0.2500
0 0 0 0 0